¿Son insesgadas las estimaciones de los parámetros si la variable dependiente es una tasa per cápita basada en datos aproximados de población?

Question

Supongamos que queremos estimar un modelo:

$Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \epsilon_i\tag{1}$

donde el $Y_i$ son promedios o tasas per cápita para regiones o zonas geográficas, de modo que si $Z_i$ es la variable agregada regional de interés y $P_i$ es la población:

$Y_i = Z_i / P_i\tag{2}$

Si todas las variables se miden con precisión, y si existen $_0^*$ y $_1^*$ tal que para todo i

$E[Y_i - \beta_0^* - \beta_1^*X_i] = E[\epsilon_i] = 0\tag{3}$

entonces la estimación OLS del modelo (1) debería producir una estimación insesgada de $\beta_1$ .

Supongamos, sin embargo, que las estimaciones de $P_i$ son sólo aproximados. En la práctica, esto es probable ya que los valores de $P_i$ casi seguro que se obtendrá o derivará de los datos del censo, lo que conlleva varias fuentes de error posibles:

1. error en los datos originales del censo;
2. extrapolación a partir de los datos del censo utilizando hipótesis sobre la población tendencias de la población cuando se necesitan datos para una fecha posterior;
3. las regiones utilizadas en el modelo pueden no corresponder a las zonas censales, por ejemplo anillos concéntricos alrededor de un punto central. Un ejemplo es un estudio de valoración de los costes de viaje recogido en Herath (1999) (1) en el que poblaciones en el rango de 5.000 a 35.000 para zonas de anillos concéntricos se expresan en múltiplos exactos de 5.000, lo que sugiere que las cifras son muy aproximadas.

Los errores en $P_i$ obviamente "infectará" los valores de $Y_i$ pero no de forma directa, ya que el efecto absoluto sobre $Y_i$ de un determinado error en $P_i$ dependerá del tamaño de $Z_i$ (y si $Z_i = 0$ no habrá ningún error en $Y_i$ ).

Pregunta : Dados los errores en $P_i$ la estimación OLS del modelo (1) producirá una estimación insesgada de $\beta_1$ y, si no es así, ¿en qué condiciones adicionales sería insesgada la estimación?

Referencia

1. Herath, G (1999) Estimación de los valores comunitarios de los lagos: Un estudio del lago Mokoan en Victoria, Australia Análisis y política económica 29(1) Tabla 1 p 37

Answer 1

¿Y si se asume un proceso de error multiplicativo y se utilizan los registros?

Digamos que el proceso de generación de datos fuera un poco diferente: $Y_i = \beta_0 \cdot X_i^{\beta_1}\cdot E_i$

Si $Y_i = Z_i / P_i$ en verdad, pero lo único que pudimos observar fue

$\hat{P}_i = P_i \cdot \Gamma_i$ , donde $P_i$ era el valor verdadero y $\Gamma_i$ era un error de medición estrictamente positivo.

En la práctica, estimaremos la siguiente ecuación:

$\hat{Y}_i = Z_i / \hat{P}_i = \beta_0 \cdot X_i^{\beta_1}\cdot E_i$

tomar los logaritmos de ambos lados (las letras minúsculas son logaritmos de variables individuales):

$y_i = \beta_0 + \beta_1 \cdot x_i + \epsilon_i - \gamma_i$

Si definimos una variable $\xi_i = \epsilon_i - \gamma_i$ entonces podemos tener una ecuación $y_i = \beta_0 + \beta_1 \cdot x_i + \xi_i$ que se parece mucho al que has escrito arriba.

Si $\xi_i$ satisface las mismas relaciones con las variables logarítmicas que $\epsilon_i$ hace con las variables de nivel parece que todo debería seguir funcionando.

Answer 2

Sólo para complementar la respuesta de @Bkay, el "error de medición" en la variable dependiente es relativamente "inofensivo" -lo que duele es el error de medición en los regresores.

Si tenemos un error de medición en la variable dependiente, lo que tenemos que suponer además, para preservar la insesgadez, es que este error es independiente de los regresores. Si podemos suponerlo razonablemente (y normalmente podemos), entonces la respuesta de @BKay muestra que el efecto es sólo una transformación del término de error de la regresión. Puede afectar a la varianza, pero no a las estimaciones de los parámetros.

Por el contrario, si tenemos error de medición en los regresores, entonces dejan de ser estrictamente exógenos al término de error, y se pierde la insesgadez.