Correlación vs. dependencia en las finanzas

Question

He encontrado un ejemplo que muestra cómo dos variables aleatorias no correlacionadas pueden ser dependientes: una variable con distribución normal $X$ no está correlacionado con su cuadrado $Y=X^2$ . Lo que puede ser $X$ y lo que puede ser $Y$ ( en términos financieros ) para que representen una forma cercana a una parábola cuando se representan en $(x,y)$ plano ( ambas ramas presentes )? Esto daría una correlación 0, pero no la independencia. ¿Existe un ejemplo de este tipo?

Answer 1

Una correlación y una dependencia no se pueden intercambiar. La dependencia es un término más general que indica que dos variables radnom están vinculadas de alguna manera. La correlación se refiere sólo a la dependencia lineal. Así, en su ejemplo las variables $X$ y $Y$ son dependientes porque $Y=X^2$ . Como has señalado, se trata de una dependencia cuadrática, no lineal, por lo que no hay correlación.

Una medida general para variables aleatorias de distribución normal que mide el grado de vinculación de dos variables se denomina covarianza y se define como $$ \text{cov}(X,Y)=\text{E}\{[X-\text{E}(X)][Y-\text{E}(Y)]\}, $$ donde $\text{E}(.)$ significa valor esperado.

Aquí son algunas otras medidas de dependencia.

Answer 2

El ejemplo más sencillo podría ser Y= varianza realizada de una acción y X= rendimiento de la acción. Es evidente que son dependientes, ya que ambas se calculan a partir de las comillas diarias de las acciones. X puede ser positivo o negativo, pero Y siempre es positivo. Si se producen grandes movimientos en la acción (al alza o a la baja), esperaríamos medir una alta volatilidad realizada. Esto podría dar una correlación cercana a cero para X e Y.

Answer 3

Supongo que hay ejemplos en el comercio de opciones, siempre que las cosas dependan de Gamma (que es esencialmente un término al cuadrado). Por ejemplo, la cobertura delta: la estrategia es, en la versión de libro de texto, largo la opción y corto delta veces el subyacente. Si se siguen los cambios en los beneficios/pérdidas a lo largo del tiempo y se trazan contra los cambios en el subyacente, a menudo se puede ver una curva en forma de U.

Un ejemplo (código R):

library("NMOF")
steps <- 100

## simulate a path of the underlier
S <- gbm(npaths = 1, timesteps = steps,
         S0 = 100, v = 0.3^2, tau = 1, r = 0)

## compute option value + delta
option <- vanillaOptionEuropean(S = S,
                                X = 100,
                                tau = seq(1, 0.1, length.out = steps + 1),
                                r = 0,
                             v = 0.3^2)
plot(diff(S), -diff(S) * option$delta[-length(option$delta)] +
              diff(option$value),
     xlab = "Change in S", ylab = "PL of delta-hedged position")