Estimación de la segunda derivada de la función de los optimizadores

Question

Considere la siguiente optimización $$x^*(s) = \max_{x\in X} \big(\,f(x)-sx\,\big)$$ donde $f$ se supone que es una función estrictamente cóncava y $X$ es una restricción de intervalo, por ejemplo $X = [0,b]$ . No conocemos la función exacta $f$ .

Supongamos que podemos proporcionar un parámetro $s$ y obtener el correspondiente optimizador (único) $x^*(s)$ .

Mi objetivo es estimar $f''(x)$ a partir de una colección de parámetros $(s_1,s_2,\ldots)$ y los optimizadores asociados $(x^*(s_1),x^*(s_2),\ldots)$ .

¿Cómo se puede hacer esto? Estaba pensando en aplicar el teorema de la envolvente o utilizar diferencias finitas de alguna manera, pero no estoy muy seguro de cómo proceder.

Answer 1

La condición de primer orden del problema de maximización es \begin{equation} f'(x)-s=0\iff f'(x)=s \end{equation}

Podemos entonces sustituir $x$ por $x(s)$ porque este es el valor óptimo dado $s$ . Como esto es cierto para cada $s$ podemos diferenciar con respecto a $s$ que da como resultado \begin{equation} f''(x(s))x'(s)=1 \end{equation}

Que se puede reescribir como \begin{equation} f''(x(s))=\frac{1}{x'(s)} \end{equation}

Entonces $x'(s)$ puede estimarse por diferencias finitas, lo que daría $f''(x)$ .