A continuación se presenta una parte del texto de Steven Shreve Stochastic Calculus for Finance II, para la fijación de precios de la opción europea en el modelo de Black Scholes.
El argumento es que hoy empiezo vendiendo una opción de compra europea al precio $c(0,S(0))$ y construir una cartera valorada en $X(0) = c(0,S(0))$ invirtiendo en acciones/bonos.
Ahora bien, si surge alguna oportunidad de arbitraje, sólo se produciría en el momento $T$ al vencimiento de esta opción, cuando puede ser ejercida. Y por lo tanto, para que no haya arbitraje requeriría $X(T) = c(T,S(T)) = (S(T) - K)^+$
Ahora no entiendo el argumento para $c(t,S(t)) = X(t)$ para todos $0 < t < T$ .
Lo sé. $X(t)$ para todos los tiempos $t$ porque esta es la cartera que he construido utilizando acciones/bonos.
Pero, ¿qué es exactamente $c(t,S(t))$ en algún momento $t$ ? En algún momento intermedio $t$ ¿el valor de la opción de compra está implícito o es algo que tengo que decidir? Es decir, ¿hay una oportunidad de arbitraje si en lugar de eso hubiera puesto $c(t,S(t)) = \frac{t}{T}X(t) + (1 - \frac{t}{T})X(0)$ o cualquier otra cosa por el estilo?
Entonces, ¿qué es lo que me falta aquí? ¿Cómo puedo entender por qué $X(t) = c(t,S(t))$ para todos $t$ ?
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Si las carteras no coinciden en algún momento $t$ , larga la más barata y corta la más cara. Como sus valores convergerán al vencimiento, habrá un arbitraje garantizado cuyo beneficio es el diferencial entre las carteras en el momento anterior $t$
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Esto es esencialmente cambiar la escala de tiempo de $0$ a $T$ a $t$ a $T$ lo que equivale a $0$ a $\tilde{T} = T-t$ .
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Tenía la impresión de que en el modelo, nuestra suposición era que podía (sin riesgo) invertir/prestar cualquier cantidad, comprar/cortar cualquier número de acciones PERO sólo había 1 opción de compra, que hemos puesto en corto en t=0. Al menos así es como funcionaba todo en el modelo binomial. Ahora bien, si puedo comprar/vender más opciones de compra en cualquier momento, ¿por qué no se considera como parte de mi cartera utilizada para cubrir mi posición corta inicial en la opción de compra?
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No, se ajusta la cobertura comprando/vendiendo acciones y reembolsando/aumentando el préstamo, no se compran y venden opciones. No es así como funciona la cobertura dinámica.
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@noob2 Sí, estoy de acuerdo. Pero no soy capaz de ver una razón apriori para ello. ¿Por qué no utilizar las opciones y los bonos sólo para la cobertura? ¿O todo el conjunto de acciones/bonos/opciones quizás?
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La razón es que si se utilizan sólo acciones y bonos, se puede expresar el precio de la opción en cualquier momento como una función de 1.el precio (más precisamente la dinámica neutral al riesgo) de la acción, 2.la tasa libre de riesgo y 3.el tiempo hasta el vencimiento. Esto le dará la fórmula de Black Scholes (o, en general, una fórmula de fijación de precios). Cubrir una opción con ella misma es algo trivial, al igual que expresar el precio de la opción :)