Precio de la opción de compra vainilla mediante el modelo de difusión de saltos

Question

Estoy leyendo un libro llamado Quant Job Interview Questions and Answers y me encontré con la siguiente pregunta y su respuesta, pero no le encuentro sentido, así que agradezco mucho su consejo:

Pregunta 2.4:

Supongamos que dos activos en el mundo de Black Scholes tienen la misma volatilidad pero diferentes derivas. Supongamos que uno de los activos sufre saltos a la baja en momentos aleatorios. ¿Cómo afectará esto a los precios de las opciones?

Respuesta:

Construimos una cartera con coste inicial $C_{BS}(0,S_0)$ que a veces termina con el mismo valor que la opción (si no se producen saltos) y a veces termina con un valor inferior (si se produce un salto). Por tanto, por consideraciones de no arbitraje, el valor de la opción sobre la acción con saltos debe ser mayor que $C_{BS}(0,S_0)$ .

Entonces mi duda es: ¿cómo es que "por consideraciones de arbitraje" se puede llegar a la conclusión anterior?

Answer 1

La ausencia de arbitraje significa que no se puede tener una cartera con una expectativa positiva sin riesgo. supongamos que el valor de la opción con saltos es inferior a $C_{BS}(0,S_0)$ Considere la siguiente cartera en el momento 0:

1. Venta de cobertura BS sobre la opción con saltos con el precio $C_{BS}(0,S_0)$ .
2. Opción de compra con saltos con el precio $P_J(0,S_0)$ .
3. Quédate con el resto del dinero $C_{BS}(0,S_0)-P_J(0,S_0)$ en la cartera.

En el momento t:

1. Seguir vendiendo la cobertura BS en la opción con saltos con el precio $C_{BS}(t,S_t)$ .
2. mantener la opción con saltos con el precio $P_J(t,S_t)$ .
3. Quédate con el resto del dinero $C_{BS}(0,S_0)-P_J(0,S_0)$ en la cartera.

En t=0, el valor de la cartera es: $$-C_{BS}(0,S_0)+P_J(0,S_0)+C_{BS}(0,S_0)-P_J(0,S_0)=0$$ En la madurez, si no se produce ningún salto, la cobertura es perfecta, así que : $C_{BS}(T,S_T)=P_J(T,S_T)$ y el valor de la cartera es: $$-C_{BS}(T,S_T)+P_J(T,S_T)+C_{BS}(0,S_0)-P_J(0,S_0)>0$$ si se producen saltos hacia abajo, tiene $C_{BS}(T,S_T)<P_J(T,S_T)$ ya que la cobertura termina con un valor inferior al vencimiento. Esto significa que el valor de la cartera al vencimiento es: $$-C_{BS}(T,S_T)+P_J(T,S_T)+C_{BS}(0,S_0)-P_J(0,S_0)>0$$ ==> ¡Arbitraje!