¿cuál es la interpretación de $\beta_{ij}$ en la función de producción translog?

Question

La función de producción translog se define de la siguiente manera $$\ln y=\alpha_0+\sum_{i=1}^n\alpha_i \ln x_i+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\ \beta_{ij}\ln x_i\ln x_j $$

Sé que es una aproximación de la función de producción CES y se simplifica a ser una función de producción general cobb douglas registrada cuando cada $\beta_{ij}=0$ .

Sin embargo, en los casos en los que todos (o incluso uno solo) $\beta_{ij}\neq0$ ¿qué interpretación adopta?

es decir, sé $\alpha_i$ se interpreta como una "elasticidad de la producción", lo que es $\beta_{ij}$ ¿Interpretado como?

Answer 1

Puede interpretar $\alpha_i$ como la elasticidad de la producción con respecto al factor de entrada $x_i$ manteniendo otros factores $x_j, j\neq i$ constante. $\beta_{ij}$ es un indicador de la complementariedad de la producción, es decir, cuánto supone la adición de un uno por ciento de ambos factores $x_i$ y $x_j$ añadir a $y$ . Dado que existe el factor 0,5, y dado que $\alpha_i$ y $\alpha_j$ también son relevantes, la interpretación no es tan sencilla.

Answer 2

Tal vez un pequeño boceto pueda ayudar aquí.

Consideremos primero un caso unidimensional

$$ \ln y = \alpha_0 + \alpha_1 \ln x + \frac{1}{2}\beta_{11}\ln^2x \tag{1} $$

En primer orden (es decir, ignorando $\ln^2 x$ ), tenga en cuenta que

$$ \frac{{\rm d}\ln y}{{\rm d}\ln x} = \alpha_1 \tag{2} $$

es decir $\alpha_1$ es simplemente la pendiente logarítmica de la función de salida (también conocida como elasticidad), por lo que básicamente puede ayudarle a identificar la diferencia entre los dos gráficos siguientes

Ahora el segundo término, para ese nota que

$$ \frac{{\rm d}^2\ln y}{{\rm d}\ln^2 x} = \beta_{11} \tag{3} $$

no hay ningún misterio en el factor $2$ en la ecuación (1), sólo para simplificar las cosas. Una vez más, esto es sólo la segunda derivada de la función de salida, por lo que puede ayudarle a distinguir entre los dos casos a continuación

Ahora viene el truco,

¿Cómo se extiende esto a las dimensiones superiores?

Pues la Ec.(1) sigue siendo válida

$$ \alpha_k = \frac{\partial \ln y}{\partial \ln x_k} $$

así que $\alpha_k$ es la elasticidad manteniendo constantes los demás factores. O en términos geométricos $\boldsymbol{\alpha} = \nabla_{\ln {\bf x}} \ln y$ . Y las segundas derivadas (hessianas) son simplemente $\beta_{jk}$

$$ \frac{\partial^2 \ln y}{\partial \ln x_k \partial \ln x_l} = \frac{1}{2}(\beta_{kl} + \beta_{lk}) $$

Si la matriz con entradas $\beta_{kl}$ es diagonal, entonces la interpretación anterior es la misma, sólo está expresando la convexidad de la producción. Si no lo es, entonces hay que buscar los valores propios de la matriz

$$ \boldsymbol{H} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\beta}^T) $$

que siempre existen y son reales, ya que $\boldsymbol{H} = \boldsymbol{H}^T$

Answer 3

No hay una interpretación significativa de los coeficientes de la mayoría de las in $x$ función de producción. El $\beta $ corresponden al desarrollo de Taylor de segundo orden de $\log(y)$ En $\log(x)$ y permitir la sustitución (o complmentariedad) entre insumos que van más allá del caso homotético Cobb-Douglas (en el que la paternidad de sustitución es muy específica). La página web $\beta$ también permiten elasticidades de $y$ En $x$ (o los porcentajes del coste de los insumos en las ventas si las empresas maximizan los beneficios) para desviarse de los términos constantes $\alpha$ y variar con $x$ .