Digamos que tengo una cartera, $X_t$ utilizando un apalancamiento de $f$ de manera que la dinámica viene dada por \begin{equation} dX_t = \mu f X_t dt + \sigma f X_t dW_t \end{equation} Quiero optimizar la utilidad esperada después de algún tiempo $T$ , $E[U(V_T)]$ y encontrar el apalancamiento óptimo $f$ . Con la función de utilidad $U(x)=\frac{x^\gamma}{\gamma}$ esto es bastante fácil. La SDE se puede resolver y la utilidad esperada se maximiza con $f^* = \frac{\mu}{\sigma^2 (1-\gamma)}$ . Con $\gamma=0$ y la utilidad logarítmica esto es sólo el criterio de Kelly.
Pero ¿qué pasa si también tengo que pagar un coste constante $C$ de tal manera que la dinámica es \begin{equation} dX_t = (\mu f X_t - C) dt + \sigma f X_t dW_t, \quad X_t > 0 \end{equation} y $dX_t = 0$ cuando $X_t=0$ (es decir, que quiebra). La función de utilidad tendría que modificarse para tener en cuenta la probabilidad no nula de quiebra, por lo que $U(x)=\frac{(x + b)^\gamma}{\gamma}$ con algunos $b>0$ para que la utilidad esté acotada en la quiebra.
¿Hay alguna forma de formular el problema de manera que pueda obtener una expresión para el óptimo $f^*$ que maximiza la utilidad esperada $E[U(V_T)]$ ¿cuándo se incluyen los costes?
