Entiendo que la ecuación de la BS se puede explicar con una cartera de réplica, por ejemplo, corta una opción y larga $\Delta$ acciones del subyacente [Bergomi's Stochastic Volatility Modeling]. También entiendo cómo derivar la fórmula de Dupire utilizando la ecuación de Fokker-Planck o mediante un enfoque probabilístico [Derman y Kani (1998)].
Mi pregunta es: ¿Existe un método de cartera replicada para llegar a la fórmula de Dupire?
Como @user121416 la fórmula de Dupire pretende ser una ecuación de calibración más que una fórmula de precios. Sin embargo, tenga en cuenta que cuando se utiliza, usted todavía es capaz de utilizar un método de cartera de réplica similar a la de BS.
La diferencia es la siguiente, y pensemos en un árbol para simplificar, mientras que para determinar su delta en BS se asume la misma volatilidad constante en cada nodo del árbol (es decir, los posibles resultados o escenarios futuros posibles), Dupire (y luego Derman y Kani) le están diciendo que cada nodo del árbol no debe utilizar esa misma volatilidad, sino la volatilidad asumida por el mercado.
Sin embargo, en ambos enfoques la estrategia de cobertura subyacente es la misma.
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La ecuación de Black Scholes es una ecuación de precios (Valor=Coste de réplica). Mientras que la fórmula de Dupire es una ecuación de calibración (pon esto como tu función de vol local dado un mercado vainilla). No hay comparación entre las dos cosas, no hay manera de hacer una cartera de replicación y obtener la fórmula de Dupire. El "análogo de Black Scholes" de la calibración de Dupire es calibrar la volatilidad lognormal de la BS a una opción vainilla particular - no se usaría la replicación para eso.
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En realidad, creo que se puede derivar la ecuación de Dupire como una cartera replicante en una economía donde el tiempo corre hacia atrás. Recordemos la dualidad entre delta y el precio de un digital y gamma y la densidad.