Demanda marshalliana para la función Douglas de Cobb

Question

Me gustaría comprobar cómo se puede obtener la demanda marshalliana para la función de Cobb Douglas como u(x1,x2) = x1^a x2^(1-a) ?

Estaba intentando la pregunta pero me quedé algo atascado intentando diferenciar el FOC de la función anterior...

Algunos han recomendado la metodología de diferenciación implícita para la diferenciación de la función Cobb Douglas, pero ¿sería posible diferenciar y FOC para Cobb douglas sin diferenciación implícita?

Gracias.

Answer 1

Tiene la siguiente función de utilidad $u(x_1,x_2)= (x_1)^a · (x_2)^{1-a}$

En el primer paso debe maximizar la utilidad fijada a la restricción presupuestaria: $m≤p_1·x_1 + p_2·x_2$ que te dicen que el gasto del consumidor está limitado por su dinero $(m)$ . A largo plazo se podría suponer $=$ en lugar de $≤$ porque todo el dinero se gastaría.

A continuación, llevar el procedimiento de Lagrange a la optimización:

$\max(u(x_1,x_2))$ fijado a $m≤p_1·x_1 + p_2·x_2$ :

$ α = u(x_1,x_2) -λ(m - (p_1·x_1 + p_2·x_2))$

Se toman las derivadas de primer orden de $α$ en $x_1$ , $x_2$ y $λ$ simplificar el gradiente de $α$ y conseguir:

$UMg(x_1)/p_1 = UMg(x_2)/p_2$ donde $UMg(x_i)$ es la utilidad marginal del bien $x_i$

Entonces se pone $x_i$ o $p_i$ de $UMg(x_1)/p_1 = UMg(x_2)/p_2$ en $m≤p_1·x_1 + p_2·x_2$ y se obtiene la demanda marshalliana.