Ecuación de Euler mediante condiciones de tangencia

Question

Soy bastante nuevo en la economía en general y en el modelo de crecimiento neoclásico en particular y me preguntaba si hay una manera de obtener la ecuación de Euler para el consumo sin utilizar el multiplicador de Lagrang. Suponiendo que no hay soluciones de esquina, digamos que el agente resuelve $$\max_{c_t, k_t} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U(c_t)$$ con sujeción a $$c_t + k_{t+1} \leq f(k_t) \\ c_t \geq 0 \quad \forall t \\ k_{t+1} \geq 0 \quad \forall t$$

El lagrangiano viene dado por $$L = \beta^t [U(c_t) + \lambda_t ( f(k_t)- c_t - k_{t+1})]$$ que luego se puede resolver para la ecuación de Euler $U'(c_t) = \beta U'(c_{t+1})f'(k_{t+1})$ .

¿Por qué si intento utilizar la condición de tangencia del gradiente de $U$ y la restricción de recursos no obtengo la misma EE? Tomando los parciales con respecto al consumo y la inversión ( $\delta =0$ así que $k_{t+1}=i_t$ )

$\nabla U = \langle \beta^tU'(c_t), 0\rangle$ y

$\nabla RC = \langle -\beta^t, -\beta^t+\beta^{t+1}f'(k_{t+1})\rangle$ .

Usando la tangencia debería obtener $\frac{U'(c_t)}{-1} = \frac{0}{\beta f'(k_{t+1})-1} \Rightarrow U'(c_t) = \beta U'(c_{t})f'(k_{t+1})$ . Está claro que mi subíndice de tiempo está mal. ¿Puede alguien decirme si mi planteamiento es erróneo o si he cometido un error en el álgebra? Creo que la condición de optimización debería cumplirse con la tangencia, por lo que no me resulta obvio por qué este enfoque da un resultado diferente al de la lagrangiana.

Answer 1

En respuesta a tu primera pregunta (¿se puede obtener la ecuación de Euler sin un Lagrangean?), la respuesta es "sí". Al menos, hay formas menos formales de obtenerla. En general, suponiendo que un consumidor elige consumir cantidades estrictamente positivas de dos bienes perfectamente divisibles $x$ y $y$ Entonces debe ser eso:

$$\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{p_x}{p_y}$$

(Si esto no fuera cierto, entonces el consumidor podría aumentar su utilidad gastando un poco más en un bien y un poco menos en el otro).

La llamada "ecuación de Euler" no es más que una aplicación de este resultado, viendo los "bienes" y $C_t$ y $C_{t+1}$ . Si retrasa su consumo un periodo, pone su dinero en el banco durante un periodo, ganando un interés real al tipo $r_{t+1}$ . Por lo tanto, si normalizamos $P_t = 1$ entonces, efectivamente $P_{t+1}=1/(1+r_{t+1})$ . El consumo de mañana es más barato que el de hoy (suponiendo que $r_{t+1} > 0$ ) ya que retrasar su consumo le permite ganar algunos intereses.

Suponemos que la utilidad es constante, separable en el tiempo y descontada exponencialmente (como en su configuración). Por lo tanto, tenemos que acordarnos de poner un $\beta$ antes de $MU_{t+1}$ . Ahora escribimos $u'(c_t)$ para $MU_x$ , $\beta u'(c_{t+1})$ para $MU_y$ y $(1+r_{t+1})$ para la relación de precios.

Por último, obsérvese que si las empresas maximizan los beneficios teniendo en cuenta el coste del capital $r_{t+1}$ como se da con la depreciación total (como usted supone), contratan capital hasta $f'(k_{t+1})=1+r_{t+1}$ . Si se introduce, se obtiene la ecuación de Euler.

En respuesta a tu segunda pregunta (¿cómo se puede derivar con un Lagrangean?), te recomendaría que intentaras los siguientes pasos:

• En primer lugar, deberías tener una suma antes de tu Lagrangean (sumando sobre un número infinito de períodos). Este es un problema dinámico.

• Diferenciar la función objetivo con respecto a $c_t$ .

• Adelanta un período y combina las ecuaciones. Deberías obtener:

$u'(c_t)/\beta u'(c_{t+1}) = \lambda _t/\lambda _{t+1}$

• A continuación, diferenciar la función objetivo con respecto a $k_{t+1}$ . No olvides el $f(k_t)$ ¡término! Esto puede parecer irrelevante, pero el Lagrangean debe ser una suma infinita para que aparezca cuando se "adelanta" un periodo. Esto debería darte:

$\lambda _t = \lambda _{t+1}f'(k_{t+1})$

Enchúfalo y lo tendrás. La ecuación sobre la que se construyó tanta macroeconomía sin sentido.