El modelo SABR representa la evolución estocástica del precio de algún tipo de activo bajo la medida para la que es una martingala de deriva cero. Para los contratos a plazo es la llamada "medida a plazo", la que se induce utilizando como numerario el precio de un bono de cupón cero que vence en la fecha de pago del contrato a plazo.
Ahora bien, hay una diferencia entre "estimar" y "calibrar" los parámetros: la primera requiere un enfoque estadístico/econométrico y un conjunto de valores observados de la variable aleatoria o del proceso aleatorio. Los parámetros se estiman y se construyen intervalos de confianza para rechazar la hipótesis nula formulada sobre lo que se está modelando.
Cuando quieres calibrar tus parámetros, simplemente estás minimizando la diferencia entre una función predeterminada de esos parámetros y algunas cantidades observadas que dicha función debería recuperar. Los dos enfoques son completamente diferentes: la calibración de un modelo es totalmente ortogonal al verdadero proceso de generación de datos ni se obtiene ningún tipo de forma de evaluar la calidad de sus supuestos.
Dicho esto, no existe una fórmula de opciones SABR, al menos en el mismo sentido que la fórmula de Black y Scholes: hay una aproximación de la volatilidad implícita de la fórmula Black-76 en función de los parámetros SABR . Para ser muy precisos, hay muchas aproximaciones (ver referencias) tanto para la volatilidad implícita de la fórmula Black-76 como para la volatilidad implícita de Bachelier (o Normal). Para simplificar las cosas, me centraré en la volatilidad de Black-76.
Dejemos que $F_0$ , $K$ y $T$ son, respectivamente, el precio a plazo de hoy, el tiempo de vencimiento de la opción y el precio de ejercicio de la opción. Entonces la volatilidad implícita es una cantidad
$$\sigma^{Black}_{Market}(K,F_0,T) : Black(K,F_0,T,\sigma^{Black}_{Market}(K,F_0,T)) = MarketPrice(K,T)$$
donde $Black$ es el precio de la opción Black-76 (omitiendo la opción call/put porque la volatilidad teórica es idéntica). Ahora siguiendo las referencias tienes alguna función
$$\sigma^{Black}(K,F_0,T) = \sigma^{Black}_{SABR}(\alpha_0(T), \beta(T), \nu(T), \rho(T), K; F_0, T) + error$$
tal que $$Black(K,F_0,T,\sigma^{Black}_{Market}(K,F_0,T)) \simeq Black(K,F_0,T,\sigma^{Black}_{SABR}(K,F_0,T)) $$
Así que, para calibrar los parámetros (me saltaré los entresijos de la calibración real) tienes que
- Encuentre un conjunto de precios de opciones de tipo europeo para diferentes strikes de un contrato Forward con una determinada madurez (observe que, efectivamente, los parámetros son correctos sólo para ese vencimiento específico de la opción)
- Calcule la volatilidad implícita de dichos precios
- Encontrar los parámetros $\alpha_0(T), \beta(T), \nu(T), \rho(T)$ que minimizan la diferencia entre la aproximación de la volatilidad SABR y las volatilidades implícitas que extrajo de los precios del mercado.
- Ahora ha calibrado el modelo SABR.
Fíjese en que el modelo SABR no es realmente un "modelo": es una parametrización práctica de la superficie de volatilidad implícita, usted seguirá poniendo precio a sus opciones utilizando la fórmula Black-76.
La verdadera utilidad del SABR es calcular las sensibilidades de las opciones corregidas por la sonrisa (las denominadas griegas), lo que mejora la varianza de la cobertura. De hecho, ese es el nombre del artículo original de Hagan.
En cuanto a su última pregunta: la volatilidad de un futuro (o de un futuro cualquiera para lo que importa) no es lo mismo que el punto . Sólo en el caso de que se admitan tipos de interés completamente deterministas, pero esto no tiene sentido (especialmente en el caso de las opciones sobre tipos de interés). En cualquier otro caso, la volatilidad de los precios (o tipos) a plazo viene dada por la combinación de las varianzas del subyacente y de los tipos de descuento (así como de cualquier covarianza).
Por cierto, esta es una de las razones por las que el comercio de opciones sobre contratos a plazo es tan común: la volatilidad implícita ya "contiene" la combinación mencionada, por lo que no es necesario estimar/calibrar por separado las volatilidades y las correlaciones.
Referencias
Rebonato, Riccardo. Volatilidad y correlación: el coberturista perfecto y el zorro. John Wiley & Sons, 2005.
Hagan, Patrick S., et al. "La gestión del riesgo de la sonrisa". The Best of Wilmott 1 (2002): 249-296.
Oblój, Jan. "Afinar la sonrisa: Corrección de Hagan et al." arXiv preprint arXiv:0708.0998 (2007).
