EMM para el modelo de Bachelier

Question

Se supone que el precio de las acciones evoluciona como $S_{t}=S_{0}+\mu t+\sigma B_{t}$ , donde $S_{0}>0, \mu>0$ y el proceso $B_{t}$ es un movimiento browniano.

Se supone que la cuenta de ahorro es $\beta_{t}=e^{r t}$ con un tipo de interés $r$

Una opción de compra con strike $K$ y la expiración $T$ paga $C_{T}=\left(S_{T}-K\right)^{+}$ en el momento $T$ .

Supongamos que r = 0. Dé el EMM.

Mi intento

Estoy un poco perdido en cuanto a EMM pero esto es lo que tengo hasta ahora:

• Teorema de Girsanov:

$B_{t}$ es un B.M bajo la medida P y C es una constante. Entonces existe un EMM q tal que:

$\hat{B}_{t}=B_{t}+C_{t} \sim Q$ movimiento browniano.

$d S_{t}=\mu d t+\sigma d B_{t}$

$r=0 \quad c=\frac{\mu-r}{\sigma}=c=\frac{\mu}{\sigma}$

No estoy seguro de cómo continuar y dar el EMM explícitamente.

Edición: Después de investigar un poco, he encontrado que el EMM existe para el modelo de Bachelier y es único por el teorema de Girsanov. Pero todavía estoy un poco perdido en la forma de encontrarlo.

Answer 1

Me parece que lo entiendes todo, aparte de cómo el teorema de Girsanov define el EMM.

El teorema de Girsanov nos dice que si $B_t$ es un movimiento browniano estándar bajo $P$ entonces para cualquier proceso adaptado $\gamma_t$ (cumpliendo ciertas condiciones) el proceso $\hat{B}_t$ definido por:

\begin{equation} d\hat{B}_t = \gamma_t dt +dB_t \end{equation} es un movimiento browniano bajo otra medida equivalente y esta medida equivalente (llamémosla $Q$ ) puede definirse por su derivada de Radon-Nikodym:

\begin{equation} \frac{dQ_T}{dP} = \exp\bigg\{ -\int_0^T \gamma^\top(s) dB_s - \frac{1}{2} \int_0^T \gamma^2(s) ds \bigg\}. \end{equation}

Ahora, como ya han notado, lo que estoy llamando $\gamma(t)$ debería ser, en nuestro caso, igual a $\frac{\mu - r}{\sigma} = \frac{\mu}{\sigma}$ . Entonces $d\hat{B}_t = \frac{\mu}{\sigma} dt +dB_t$ y nosotros sí: \begin{equation} dS_t = \sigma d\hat{B}_t \end{equation} como se desee. Así, nuestro EMM, $Q = Q_T \sim P$ está definida por la derivada de Radon-Nikodym: \begin{align} \frac{dQ_T}{dP} &= \exp\bigg\{ -\int_0^T \frac{\mu}{\sigma} dB_s - \frac{1}{2} \int_0^T \frac{\mu^2}{\sigma^2} ds \bigg\} \\ &= \exp \Big\{ -\frac{\mu}{\sigma}B_T - \frac{1}{2} \frac{\mu^2}{\sigma^2}T \Big\} \end{align}