Actualmente estoy cursando un máster en Economía. No tuve ningún contacto con la optimización con restricciones de desigualdad en mi licenciatura. Me gustaría asegurarme de que estoy haciendo este problema correctamente. Nota: Entiendo que Khun-Tucker no es necesario para resolver el siguiente problema. Dicho esto, es importante que domine esta técnica, así que quiero toda la práctica posible:
Problema: Una empresa tiene dos plantas con funciones de costes $c_{1}(y_{1})=4\sqrt{y_{1}}$ y $c_{2}(y_{2})=2\sqrt{y_{2}}$ . ¿Cuál es el coste de producir $y=y_{1}+y_{2}$ ? Supongamos que $y_{1},y_{2} \geq 0$
Configuré el Lagrange de la siguiente manera:
$$\mathcal{L}=4\sqrt{y_{1}}+2\sqrt{y_{2}}-\lambda(y_{1}+y_{2}-y)-\mu_{1}y_{1}-\mu_{2}y_{2}$$
El BDC: $$\mathcal{L}_{y_{1}}=\frac{2}{\sqrt{y_{1}}}-\lambda-\mu_{1}=0$$ $$\mathcal{L}_{y_{2}}=\frac{1}{\sqrt{y_{2}}}-\lambda-\mu_{2}=0$$ $$\mathcal{L}_{\lambda}=0 \Longrightarrow y_{1}+y_{2}=y$$ $$\mu_{1}y_{1}=0$$ $$\mu_{2}y_{2}=0$$
Mis condiciones complementarias de holgura son: $$\mu_{1} \geq 0; \ \mu_{1}=0 \ if \ y_{1}>0$$ $$\mu_{2} \geq 0; \ \mu_{2}=0 \ if \ y_{2}>0$$
Primero busco una solución interior. Es decir, busco si hay una solución donde $y_{1},y_{2}>0$ . Esto significa que $\mu_{1}=\mu_{2}=0$ . Esto significa que $$\frac{2}{\sqrt{y_{1}}}=\lambda \ \ and \ \ \frac{1}{\sqrt{y_{2}}}=\lambda$$ Puedo tomar la proporción para encontrar que $$\frac{2 \sqrt{y_{2}}}{\sqrt{y_{1}}}=1$$ Utilizando el hecho de que $y_{1}+y_{2}=y$ podemos ver que tenemos la siguiente solución $$y_{1}=\frac{4}{5}y \ \ and \ \ y_{2}=\frac{1}{5}y$$
Ahora compruebo las condiciones de segundo orden. Tenemos $C(y)=4\sqrt{y_{1}}+2\sqrt{y_{2}}$ lo que significa $$C_{1}=\frac{2}{\sqrt{y_{1}}}, \ \ C_{2}=\frac{1}{\sqrt{y_{2}}}$$ $$\Longrightarrow C_{11}=-\frac{1}{y_{1}^{3/2}}, \ \ C_{22}=-\frac{1}{2y_{2}^{3/2}}, \ \ C_{12}=C_{21}=0$$ Si introducimos los valores óptimos en el hessian nos da:
$$H=\begin{bmatrix} -\frac{5\sqrt{5}}{8y^{3/2}} & 0 \\ 0 & -\frac{5\sqrt{5}}{2y^{3/2}} \end{bmatrix}$$
Ahora es cuando las cosas se complican para mí. Sé que si el hessiano es semipositivo definido, entonces tenemos un mínimo. Si tenemos que el hessiano es semidefinido negativo, entonces tenemos un máximo. Este hessiano no parece ser ninguno de los dos. Creo que esto nos indica que tenemos un punto de silla de montar.
Es decir, usando menores principales, tenemos:
$$\mid H \mid ^{(1)}<0, \ \ and \ \ \mid H \mid ^{(2)}=|H|>0$$
Eso es, $$|H|^{(1)}=det(-\frac{5\sqrt{5}}{8y^{3/2}})=-\frac{5\sqrt{5}}{8y^{3/2}}<0$$
$$|H|^{(2)}=|H|=det(\begin{bmatrix} -\frac{5\sqrt{5}}{8y^{3/2}} & 0 \\ 0 & -\frac{5\sqrt{5}}{2y^{3/2}} \end{bmatrix})=(-\frac{5\sqrt{5}}{8y^{3/2}})(-\frac{5\sqrt{5}}{2y^{3/2}})-0=\frac{125}{16y^{3}}>0$$
Dicho esto, estoy bastante seguro de que se supone que la solución interior es un máximo. Creo que he hecho algo mal, pero no estoy seguro de qué.
