Contradicción del supuesto de derivación de Black-Scholes

Question

En muchos libros y derivaciones de la EDP de Black-Scholes se ve que

$$\Pi=V-\Delta F \Rightarrow d\Pi=dV-\Delta dF$$

que asume implícitamente que $d\Delta=0$ . En algún momento se deduce que

$$\Delta=\frac{\partial V}{\partial F}$$

para simplificar la ecuación. ¿No contradice esto la suposición inicial de que $d\Delta=0$ ? Si se realiza una diferenciación completa

$$\Pi=V-\Delta F \Rightarrow d\Pi=dV-\Delta dF - F d\Delta$$

el resto de la historia va mal. ¿No es cierto que $\Delta = \Delta(t, S)$ es decir, depende del tiempo y del proceso estocástico subyacente y, por tanto, debe diferenciarse?

Answer 1

$\Pi$ es el valor de una cartera con cobertura delta (opción más una posición corta en el subyacente Δ). La notación para $\Delta$ está sobrecargado. Aquí representa el número de contratos subyacentes (f.ex acciones) en su cartera con cobertura delta, igual al griego $\Delta$ cuando se crea la cartera. Por lo tanto, en el cálculo de $d \Pi$ , $\Delta$ (el número de acciones de su cartera) se trata como una constante.

Sí, el griego $\Delta$ evoluciona a medida que se acerca el vencimiento de la opción y wrt $F$ y tendrá que reequilibrar su cartera. Pero esto no está contemplado en el infinitesimal $d \Pi$ .