Resolver un HJB con una probabilidad de transitar a un nuevo estado

Question

Intento resolver el problema de una empresa que se enfrenta a la posibilidad de un impuesto futuro, en tiempo continuo.

La empresa maximiza $V(k)=\int_{t=0}^{\infty}e^{-rt} \pi_t dt$ con $\pi_t=f(k_t)-i_t$ y $\dot{k}=i_t-\delta k_t$ . Existe una probabilidad $\rho$ por unidad de tiempo para transitar a un nuevo estado donde se impone un impuesto, y donde el beneficio se convierte en $f(k_t)-i_t-\tau k_t$ . Este es un problema de equilibrio parcial y suponemos que $r$ , $\delta$ y $\rho$ son exógenos.

Estoy tratando de resolver este problema utilizando funciones Hamiltonian-Jacobi-Bellman (HJB): $$\begin{align*} rV_1 &= \max_{i} \{f(k_t)-i_t+\rho (V_2-V_1)+\dot{V}_1\} \\ rV_2 &= \max_{i} \{f(k_t)-i-\tau k_{t}+\dot{V}_2\} \end{align*}$$

Sé cómo resolver la segunda ecuación, siguiendo el método de Walde 2012 utilizando la programación dinámica. En primer lugar, reescribir $$f(k_t)-i_t-\tau k_t + V'_2(k_t)\dot{k_t}=f(k_t)-i_t-\tau k_t+ V'_2(k_t)(i_t-\delta k_t)$$ A continuación, tome el FOC con respecto a $i_t$ , lo que da como resultado $$V'_2(k_t)=1$$ A continuación, utilice la condición de sobre para encontrar \begin{align*} rV'_2=f'(k_t)-\tau+V''_2(k_t)(i_t-\delta k_t)-\delta V'_2(k_t) \end{align*} Esto se puede simplificar, utilizando el FOC, como $$\begin{align*} f'(k_t)=r+\delta+\tau \end{align*}$$ que da la misma solución que daría un hamiltoniano simple.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder a continuación y cómo resolver la solución antes de que se imponga el impuesto y se resuelva la incertidumbre.

Además, si tienes algunas referencias sobre el control dinámico en tiempo continuo, me interesaría mucho, sobre todo si tratan el caso de HJB con restricciones adicionales.

Gracias de antemano por su ayuda.

EDIT: para aclarar, una vez que llegamos al nuevo estado donde se impone el impuesto, no hay posibilidad de volver al estado anterior. La única incertidumbre es sobre cuándo se impondrá el impuesto, es decir, cuándo se resolverá la incertidumbre.

Answer 1

Dejaría esto como comentario pero no puedo. Estáis en el buen camino.

1. Una vez que sepas $V_2(k)$ entonces puedes conectar eso al primer hjb y resolver.

2. Para resolver $V_2$ necesita encontrar el óptimo $i$ en función de $k$ . A continuación, conecte $i(k)$ en el 2º HJB. Eso te dará una oda de segundo orden. Resolviendo eso te dará $V_2(k)$ y pasas a la 1.

Answer 2

Siguiendo la respuesta del usuario28714, he probado lo siguiente. En primer lugar, sustituyendo el FOC, reescribo $V_2$ como \begin{align*} rV_2 &= f(k_t)-i_t - \tau k_t + i_t-\delta k_t \\ &= f(k_t - \tau k_t - \delta k_t \end{align*} Así, obtenemos $$ V_2 = \frac{1}{r}\left(f(k_t) - k_t(\tau + \delta) \right)$$ Sustituyendo en $V_1$ obtenemos $$ rV_1 = \max_{i} \left\{ f(k_t)-i_t + \rho\left(\frac{1}{r}\left(f(k_t) - k_t(\tau + \delta) \right)-V_1\right) + V'_1(i_t-\delta k_t) \right\}$$

El BDC no ha cambiado: $ V'_1=1$ y la condición de envoltura se convierte en \begin{align*} rV'_1 = f'(k_t)+\rho\left(\frac{1}{r}(f'(k_t)-\tau - \delta)-V'_1\right)+V''_1(i_t-\delta k_t) - \delta V'_1 \end{align*} Observando que $\dot{V'_1} = V''_1 (i_t-\delta k_t)$ y sustituyendo utilizando la condición de la envolvente, encontramos \begin{align*} \dot{V_1}=V'_1(r+\delta+\rho)-f'(k_t)-\frac{\rho}{r}(f'(k_t)-\tau - \delta) \end{align*} Utilizando $V'_1=1$ y $\dot{V'_1}=0$ obtenemos \begin{align*} f'(k_t)(1+\frac{\rho}{r})&= r+\delta +\rho +\frac{\rho}{r}(\tau + \delta) \\ f'(k_t) &= \frac{r}{r+\rho}\left( r+\delta +\rho +\frac{\rho}{r}(\tau + \delta) \right) \\ f'(k_t) &= r + \delta + \frac{\rho }{r+\rho}(r+ \frac{\rho}{r}\tau) \end{align*}

Lo cual no es el resultado más elegante... ¿Podría alguien confirmarme este resultado?