¿Hay algún caso en el que el coeficiente de la variable de interés en DiD sea más significativo al añadir más variables?

Question

Considerando una ecuación de diferencia en diferencias con una variable ficticia:

$$y_i = \alpha + \beta D_i + Xit + \varepsilon_i.$$ Mientras que $$Xit$$ es un conjunto de covariables. Hoy cuando añado más covariables, el valor p disminuye . ¿Es normal?

Y si es un problema, ¿qué debo hacer al respecto?

Answer 1

En primer lugar, permítanme decirles que es una mala estadística comparar $p$ -valores a través de diferentes especificaciones. Lo que ciertamente no debe hacer es elegir la especificación basándose en el $p$ -valores que se obtienen.

Dicho esto. Supongamos que la especificación correcta está dada por: $$y_i = \alpha + \beta D_i + \gamma X_{i} + \varepsilon_i$$ Supongamos que se equivoca en la estimación: $$y_i = \alpha + \beta D_i + \delta_i$$ donde ahora $\delta_i = \varepsilon_i + \gamma X_i$ capta tanto el error aleatorio $\varepsilon_i$ y el efecto de $X_i$ .

Si se estima la segunda especificación, en realidad se identifica lo siguiente: $$\begin{align*} \hat \beta &= \mathbb{E}(y_i|D_i = 1) - \mathbb{E}(y_i|D_i = 0),\\ &= \beta + \mathbb{E}(\delta_i|D_i = 1) - \mathbb{E}(\delta_i|D_i = 0),\\ &= \beta + \gamma\left[\mathbb{E}(X_i|D_i = 1) - \mathbb{E}(X_i|D_i = 0)\right] \end{align*}$$ Dependiendo del segundo término, $\hat \beta$ puede ser menor o mayor que $\beta$ . Esto dependerá del signo de $\gamma$ y la dirección de la correlación entre $X_i$ y $D_i$ . Por ejemplo, si $\gamma > 0$ y $D_i = 1$ se asocia con valores más altos de $X_i$ entonces $\hat \beta > \beta$ por lo que tenderá a sobrestimar el efecto de $D_i$ en $y_i$ (ya que también está captando parte del efecto de $X_i$ en su estimación).

Si debe incluir $X_i$ o no en la regresión no es algo que pueda responderse sólo con estadísticas. Si $X_i$ capta los factores de confusión (es decir, algo que afecta tanto a $y_i$ y $D_i$ ), entonces sí debe añadirlo, ya que de otro modo no capta el efecto causal de $D_i$ en $y_i$ pero también parte del efecto de $X_i$ en $y_i$ .

Answer 2

Cuando se añaden covariables, $\beta$ se interpreta como "el efecto de $D$ en $y$ manteniendo fijo $X$ . Añadir variables a $X$ puede aumentar o disminuir el valor p dependiendo de la relación de $X, D,$ y $y$ .