Se puede demostrar la existencia de tales planes óptimos utilizando el teorema del valor extremo de Weierstrass, pero requiere algunas matemáticas avanzadas.
Aquí tenemos una versión de juguete del modelo sin energía ni emisiones. Las dos funciones de utilidad instantánea $u:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ y la función de producción $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ se suponen continuas y no decrecientes. Además, $u$ se supone que está acotado (!). Se da un stock de capital inicial $k_1\geq 0$ . El espacio de planes de consumo y producción factibles se define como $$F=\big\{(c_1,k_1,c_2,k_2,\ldots)\mid 0\leq k_{t+1}\leq f(k_t-c_t)\}, k_t\geq c_t\geq 0\big\}.$$ $F$ describe todas las trayectorias factibles de consumo y capital. Este conjunto es un subconjunto compacto no vacío de $\mathbb{R}^\infty$ dotado de la topología del producto . He aquí la razón: Por Teorema de Tychonoff el conjunto $$\prod_{t=1}^\infty [0,f^t(k_1)]^2$$ con $f^0$ la función de identidad $f^{t+1}=f\circ f^t$ es compacto y $F$ es un subconjunto de este conjunto compacto. Por definición, todas las funciones de coordenadas son continuas. Cada una de las desigualdades relevantes define un conjunto cerrado y $F$ es, por tanto, un subconjunto cerrado de un conjunto compacto y, por lo tanto, compacto en sí mismo. Además, el plan que nunca invierte y consume todo está en $F$ Así que $F$ es no vacía.
La función de utilidad $U:F\to\mathbb{R}$ dado por $$U(c_1,k_1,c_2,k_2,\ldots)=\sum_{t=1}^\infty \beta^t u(c_t)$$ está bien definida y es continua en la topología del producto. Dado que la función de utilidad está acotada, $U$ será siempre finito y, por tanto, bien definido. Para ver que es continua, hay que tener en cuenta que como $u$ está acotado, existe para cada $\epsilon>0$ algunos $T$ tal que la utilidad de dos caminos cualesquiera que sólo difieren en tiempos posteriores a $T$ pueden diferir como máximo en $\epsilon/2$ . Dado que todas las funciones de coordenadas son continuas, si los dos planes de consumo están lo suficientemente cerca en el primer $T$ coordenadas, diferirán como máximo en $\epsilon/2$ . Por lo tanto, si las trayectorias están lo suficientemente cerca en un número finito de coordenadas, la utilidad correspondiente estará lo suficientemente cerca. Así que $U$ es continua en la topología del producto.
Así que $U$ es una función continua sobre el conjunto compacto no vacío $F$ . Por el teorema del valor extremo de Weierstrass, $U$ adquiere un máximo en algún momento de $F$ y tal punto es un plan óptimo.
Puede encontrar una prueba más general de la existencia de planes óptimos en este sentido en el libro "Dynamic Programming in Economics" de Le Van y Dana. La suposición de que $F$ está aumentando no es necesario, puede sustituir el producto de los intervalos que incluye $F$ delimitándolo con los mayores valores que se pueden producir en lugar de los que se derivan de reinvertir siempre el capital. En este sentido, $u$ está acotado se asumió para garantizar que $U$ es finito. Se puede sustituir esto por una suposición que garantice que la utilidad instantánea no puede aumentar a rápido a lo largo de un camino factible.
