El modelo es
$$y_t = \beta +u_t,\;\; u_t\sim N(0, \sigma^2),\; t=1,...,n$$
y la muestra es independiente. El estimador es
$$\hat \beta = \frac1n\sum_{t=1}^n y_t = \frac1n\sum_{t=1}^n (\beta +u_t) = \beta + \frac1n\sum_{t=1}^n u_t$$
Si $\beta = \beta_1$ (donde $\beta_1$ es algún valor diferente al $\beta_0$ que establecemos como hipótesis nula), entonces los autores establecen $\frac1n\sum_{t=1}^n u_t \equiv \hat \gamma$ y por eso escriben que bajo la alternativa tenemos
$$\hat \beta = \beta_1 +\hat \gamma$$
Desde el $u'$ son i.i.d normales su suma/media también es normal. Entonces la distribución del estimador es
$$\hat \beta \sim N(\beta, \sigma^2/n)$$
Supongamos que establecemos como hipótesis nula que $H_0:\beta = \beta_0$ . y la alternativa $H_1:\beta \neq \beta_0$ .
Entonces formamos el estadístico (que es una función del estimador, no el estimador mismo)
$$z = \frac{\hat \beta - \beta_0}{\sigma/ \sqrt{n}}$$
La distribución de esta estadística es ( antes de especificando cualquier hipótesis a probar)
$$z \sim N\left(\frac{\beta - \beta_0}{\sigma /\sqrt{n}},1\right)$$
Supongamos que planteamos como hipótesis nula que $H_0: \beta = \beta_0$ . Entonces, si la hipótesis nula es verdadera, obtenemos
$$z|_{H_0} \sim N\left(0,1\right)$$
Si la alternativa es verdadera, entonces sustituimos por $\hat \beta$ para conseguir
$$z|_{H_1} = \frac{\beta_1 +\hat \gamma - \beta_0}{\sigma /\sqrt{n}} = \frac{\beta_1 - \beta_0}{\sigma \sqrt{n}}+\frac{\hat \gamma }{\sigma /\sqrt{n}}$$
El primer término es una constante, el segundo término es una v.r. normal (recuerde lo que $\hat \gamma$ significa). Así que la distribución de la estadística bajo la alternativa es
$$z|_{H_1} \sim N\left(\frac{\beta_1 - \beta_0}{\sigma /\sqrt{n}},1\right)$$
y los autores escriben
$$\lambda \equiv \frac{\beta_1 - \beta_0}{\sigma /\sqrt{n}}$$
