Calcular el precio en el momento t=0

Question

Supongamos que el bono sin riesgo Bt y la acción St siguen la dinámica del modelo de Black & Scholes (con tipo de interés r, deriva de las acciones $\mu$ y la volatilidad $\sigma$ ).

Calcular el precio en el momento $t = 0$ de un derivado con vencimiento T y pago $(S^3_t-K)^+$ . Sé que tengo que utilizar la fórmula de Black Scholes para el precio de una llamada para encontrar el precio del derivado, pero la fórmula también contiene $N(d_1)$ y $N(d_2)$ ¿cómo se vería afectado esto?

Answer 1

No entiendo la pregunta pero puedo intentarlo. Creo que el problema es encontrar el precio de una demanda contingente que tiene pago $(S_T^3 - K)^+$ . La conocida fórmula de fijación de precios es: $$\begin{equation} \pi(t)=\mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{-r(T-t)}(S_T^3 - K)^+|\mathcal{F}_t] \end{equation}$$ Ahora pon $Y=S^3$ utilizando el lema de Ito $$\begin{equation} dY(t)=dS^3(t)=3S^2(t)dS(t) + \frac126S(t)\sigma^2S^2(t)dt \end{equation}$$ En el modelo Black-Scholes $$\begin{equation} dS(t)=\mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t) \end{equation}$$ Así que tenemos: $$\begin{equation} dY(t)=3\mu S^3dt + 3\sigma^2S^3dt + 3\sigma S^3dW=(3\mu + 3\sigma^2)Ydt + 3\sigma YdW \end{equation}$$ Ahora definimos $$\begin{align} \tilde{\mu}&=3\mu + 3\sigma^2 \\ \tilde{\sigma}&=3\sigma \end{align}$$ Supongamos ahora que $Y$ es una acción nueva con deriva $\tilde{\mu}$ y la volatilidad $\tilde{\sigma}$ y sólo hay que sustituir la fórmula de Black-Scholes por una opción europea con subyacente $Y$ y la huelga $K$ .