Valor actual de los pagos periódicos perpetuos CRECIENTES

Question

Hay varios sitios que publican una fórmula para el valor actual (PV) de un pago periódico IGUAL a perpetuo:

PV = a / ((1 + i)^t - 1)

donde a (en $) is the value of the periodic payment, and t (in years) is the period. In other words, the instrument generates a payment of $ a cada t años. i es el tipo de interés de descuento (como fracción decimal).

Mi tarea actual difiere ligeramente. El pago se genera periódicamente (cada t años), pero el importe del pago crece a una tasa de crecimiento anual (g). Para evitar dudas, la tasa de crecimiento g es ANUAL.

Lamentablemente, no tengo los conocimientos matemáticos necesarios para construir una fórmula para mi caso. Mi suposición sería que la tasa de crecimiento anual g se puede restar de la tasa de descuento i. Por lo tanto:

PV = a / ((1 + i - g)^t - 1)

¿Es esto correcto? Muchas gracias.

Answer 1

La única razón por la que se puede calcular el VP de los pagos perpetuos es por la tasa de descuento; aunque tengas un número infinito de pagos, el valor actual de cada uno de ellos es decreciente, lo que hace que los valores sumen un total finito. Si tienes pagos crecientes, si el crecimiento supera la tasa de descuento, entonces en general el valor actual de cada pago es mayor que el anterior, por lo que el total será infinito.

Si la tasa de crecimiento es inferior a la tasa de descuento, lo que hay que utilizar es el cociente, no la diferencia.

Se trata de un serie geométrica . La fórmula de una serie geométrica infinita es:

a/(1-r)

Donde r es la cantidad por la que se multiplica cada término. Supongamos que el pago en el año 0 es a, y en el año 1 es a+ag. Eso equivale a a(1+g); el pago se está multiplicando por (1+g). En cambio, cuando descontamos el pago, lo dividimos; deberíamos tener a/(1+i). Así que el factor total para un año es (1+g)/(1+i). Para t años, es [(1+g)/(1+i)]^t. Así que la fórmula para el total de r es:

r = [(1+g)/(1+i)]^t

y la fórmula de la suma es:

a/(1-[(1+g)/(1+i)]^t)

Answer 2

Con el supuesto de que los pagos se realicen en el fin de cada período de t años (es decir, el primer pago se realiza, no ahora, sino dentro de t años), y que el crecimiento a la tasa g comienza ahora (es decir, el primer pago es igual a(1 + g)^t), su fórmula es aproximadamente correcto. El efecto del crecimiento anual en la valoración corresponde a una reducción del tipo de descuento.

Sin embargo, si estos índices no son muy pequeños, deben combinarse de forma multiplicativa en lugar de aditiva. Es decir, en lugar de (1 + i - g)^t debería tener (1 + i)^t / (1 + g)^t.

Además, si el primer pago (dentro de t años) es igual a en lugar de a(1 + g)^t, basta con dividir toda la fórmula de PV entre (1 + g)^t.

Answer 3

Dónde a se paga cada t años, y i es el tipo de interés efectivo anual, el tipo periódico r es

r = (1 + i)^t - 1

Entonces, el valor actual de una perpetuidad con pagos constantes viene dado por estas dos fórmulas equivalentes. La segunda coincide con la primera fórmula de la OP.

El valor actual de una perpetuidad con pagos crecientes viene dado por estas dos fórmulas equivalentes, donde g es la tasa de crecimiento anual y h es la tasa de crecimiento periódico.

h = (1 + g)^t - 1

Ver también Perpetuidad con fórmula de crecimiento que coincide con la tercera fórmula: PV = a/(r - h) .

Conclusión:

La fórmula que necesita puede obtenerse sustituyendo h en la cuarta suma o fórmula.

PV = a/((1 + i)^t - (1 + g)^t)

o, más sencillamente, de PV = a/(r - h)

donde r = (1 + i)^t - 1 y h = (1 + g)^t - 1 .

Los resúmenes ayudan a aclarar cómo se llega a las fórmulas de los PV.