Consumo óptimo para un número infinito de períodos y una renta exógena

Question

Tengo el siguiente problema de optimización:

$\max_{\{c_t, s_{t+1}\}} \Pi_{t=0}^\infty c_t^{\beta^t}$

$\text{subject to } \space c_t + s_{t+1} = y_t + (1 + r) s_t \text{ and } s_0 = 0$

¿Cómo puedo encontrar el nivel de consumo óptimo para cada periodo de tiempo? $t$ ?

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Dejemos que $p_t = \frac{1}{(1 + r)^t}$

Entonces, a partir de la restricción presupuestaria $p_{t+1} s_{t+1} - p_{t+1} s_t = p_{t+1}(y_t - c_t)$ .

Si sumamos sobre $T$ periodos: $(p_1 s_1 - p_0 0) + (p_2 s_2 - p_1 s_1) + ... (p_{T+1} s_{T+1} - p_T s_T) = \sum_{t=0}^\infty p_{t+1}(y_t - c_t)$

Si utilizo una transformación de logaritmo natural en la función de utilidad y asumo $\lim_{T\to\infty} p_T s_T = 0$ (no se permiten esquemas ponzi), puedo reescribir el problema de optimización como:

$\max_{\{c_t\}} \sum_{t=0}^\infty \beta^t\ln(c_t)$

$\text{subject to} \sum_{t=0}^\infty p_{t+1} c_t = \sum_{t=0}^\infty p_{t+1} y_t$

Por lo tanto, mi función lagrangiana debería ser así (a menos que me esté perdiendo algo):

$\mathcal{L} = \sum \beta^t\ln(c_t) - \lambda(\sum_{t=0}^\infty p_{t+1} c_t - \sum_{t=0}^\infty p_{t+1} y_t) + \mu c_t$

¿Cómo puedo conseguir $c_t^* \space \forall \space t$ ?

Answer 1

A continuación se muestra el esquema de la solución.

Desde el Lagrangiano $$\max _{\left\{c_{t}, s_{t+1}\right\}} \Pi_{t=0}^{\infty} c_{t}^{\beta^{t}} - \Pi_{t=0}^{\infty}\lambda_t(c_{t}+s_{t+1}-y_{t}-(1+r) s_{t}) \\ \text{s.t.} \ s_0 = 0, c_t > 0 $$ se puede obtener la ecuación de Euler $$\frac{\beta_{t+1}c_{t+1}^{\beta_{t+1}-1}}{\beta_{t}c_{t}^{\beta_{t}-1}}= \frac{\beta_{t+1}\left[y_{t+1}+(1+r)s_{t+1}-s_{t+2}\right]^{\beta_{t+1}-1}}{\beta_{t}\left[y_{t}+(1+r)s_{t}-s_{t+1}\right]^{\beta_{t}-1}} = \frac{1}{1+r}$$ y luego se puede escribir $s_{t}^{*} \forall t>1$ en función de $s_1$ con la condición inicial $s_0$ . Utilizando la condición de transversalidad como condición terminal: $$\lim _{t \rightarrow \infty} \lambda_ts_{t+1}= \lim _{t \rightarrow \infty} {\beta_{t}\left[y_{t}+(1+r)s_{t}-s_{t+1}\right]^{\beta_{t}-1}}s_{t+1} =0$$ se puede resolver para $\left\{s_{t}\right\}_{t=1}^{\infty}$ hacia adelante adivinando un valor inicial para $s_1$ y que da lugar a la secuencia que no viola la TVC o la restricción de no negatividad en el consumo. Y una vez que se obtiene $s_{t}^{*} \forall t$ se obtiene $c_{t}^{*} \forall t$ .