¿Es necesaria la negociación del subyacente para la réplica?

Question

En un modelo binomial simple de un período tenemos dos posibles resultados: $f(S^u)$ y $f(S^d)$ . Para replicar esto debemos operar con dos activos, normalmente la acción $S$ y la cuenta del mercado monetario (que se supone que es inicialmente 1), y luego resolver las ecuaciones $$ \phi S^u + \psi e^{rT} = f(S^u), \\ \phi S^d + \psi e^{rT} = f(S^d) $$ para obtener nuestra estrategia de cobertura $\phi = \frac{f(S^u) - f(S^d)}{S^u - S^d}$ , $\psi = e^{-rT} (f(S^u) - \phi S^u)$ . A continuación, para un modelo multiperiodo utilizamos la inducción hacia atrás y repetimos este programa en cada nodo.

¿Por qué hay que operar con el subyacente para replicar esta rentabilidad? Parece que absolutamente cualquier activo serviría mientras siga nuestro modelo binomial. Por ejemplo, dejemos que $C$ sea el precio actual de una vaca. Entonces, el comercio de las vacas (y todavía asumiendo $S$ sigue el modelo binomial) todavía puedo resolver las ecuaciones $$ \hat{\phi} C^u + \hat{\psi} e^{rT} = f(S^u), \\ \hat{\phi} C^d + \hat{\psi} e^{rT} = f(S^d) $$ para obtener mi estrategia de cobertura $\hat{\phi} = \frac{f(S^u) - f(S^d)}{C^u - C^d}$ , $\hat{\psi} = e^{-rT}(f(S^u) - \hat{\phi} C^u)$ .

Parece que en realidad no necesitamos operar con el subyacente en absoluto para replicar el pago de una opción.

Sin embargo, dejar que $V = \phi S_0 + \psi$ y $\hat{V} = \hat{\phi} C_0 + \hat{\psi}$ tenemos $V \neq \hat{V}$ en general. De hecho, \begin{align*} V = \hat{V} & \iff \phi S_0 + \psi = \hat{\phi} C_0 + \hat{\psi} \\ & \iff \frac{f(S^u) - f(S^d)}{S^u - S^d}S_0 + e^{-rT} \left(f(S^u) - \frac{f(S^u) - f(S^d)}{S^u - S^d} S^u\right) \\ & \qquad = \frac{f(S^u) - f(S^d)}{C^u - C^d}C_0 + e^{-rT} \left(f(S^u) -\frac{f(S^u) - f(S^d)}{C^u - C^d} C^u\right) \\ & \iff \frac{f(S^u) - f(S^d)}{S^u - S^d}S_0 - e^{-rT} \left(\frac{f(S^u) - f(S^d)}{S^u - S^d} S^u\right) \\ & \qquad = \frac{f(S^u) - f(S^d)}{C^u - C^d}C_0 - e^{-rT} \left(\frac{f(S^u) - f(S^d)}{C^u - C^d} C^u\right) \\ & \iff \frac{S_0}{S^u - S^d} - \frac{S^ue^{-rT}}{S^u - S^d} = \frac{C_0}{C^u - C^d} - \frac{C^u e^{-rT}}{C^u - C^d}, \end{align*}

que no parece necesario. Entonces, la pregunta es: ¿cuál es el activo correcto para negociar el precio de la opción?

Answer 1

Hay una suposición implícita en su modelo. A saber, que el precio de la vaca está perfectamente correlacionado con la acción: siempre se mueven en la misma dirección. En este caso, sí que se puede cubrir el riesgo con las vacas. Dejo que seas tú quien juzgue la validez de esa suposición.

Lo más probable es que los movimientos de los precios de las vacas sean independientes, lo que significa que debe considerar 2 modelos binomiales o un modelo cuadrinomial y que no puede cubrir su derivado utilizando sólo las vacas.

Pero en la práctica, a menudo se puede cubrir la opción utilizando algo más que el subyacente, por ejemplo, un contrato a plazo sobre la acción, ya que es lineal en el precio de la acción, al igual que el precio de la vaca en su modelo.

Answer 2

El hecho de que pueda resolver el segundo conjunto de ecuaciones significa que puede cubrir la opción a través de otro activo también, en un mundo binomial simple esto puede ser cierto. Tenga en cuenta que su estrategia debe replicar $f(S)$ a través de $C$ en todos los estados en todos los pasos de tiempo. Por ejemplo, es posible que no se obtenga una solución para $\phi$ si $C^u-C^d=0$ .

Sin embargo, las ponderaciones de la cobertura diferirían en función de los activos que se utilicen para replicar el pago de la opción.

Su pregunta está relacionada con los mercados incompletos, en los que un activo puede reproducirse a través de una serie de estrategias de negociación, de manera que no existe un precio único. En los mercados completos, $\mathbb{Q}$ es único y $f(S)$ puede ser replicado a través de una sola estrategia.