Comparar impuestos Cobb-Douglass y más

Question

Definamos una función de utilidad para un consumidor como $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{1/2} x_{2}^{1/2}$ . Con el presupuesto $x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}=m$ . Con valores $p_1=p_2=1, m=32$ . El Estado añade ahora un impuesto de la unidad 3 sobre $p_{1}$ (Unidad de pr. $x_1$ )

¿Cómo afecta a la utilidad? ¿Qué gana el Estado?

• Tengo la utilidad antes de ser 16 y después de ser 8 con impuestos correlativos a 12 pr unidad $x_1$

El Estado considera ahora un impuesto sobre la renta tal que los ingresos $m-T$ Cuánto ganará el Estado con el nuevo sistema manteniendo indiferente al consumidor ? ¿Qué sistema es mejor?

• Me imagino que resuelvo el Impuesto en la función de utilidad en condiciones óptimas de demanda para que la utilidad sea igual a 8. Esto me dio 16 unidades de impuesto sobre la renta.

Cómo se hace la última parte matemáticamente. Me imagino que el impuesto sobre la renta es mejor para el consumidor, pero ¿cómo puedo demostrarlo matemáticamente?

Answer 1

La intuición que tienes es correcta. Matemáticamente puedes demostrarlo derivando primero las opciones óptimas con el impuesto sobre la renta a tanto alzado. Así que establecerás el siguiente lagrangiano:

$$\mathcal{L} = x^{1/2}_1 x^{1/2}_2 - \lambda [x_1p_1+x_2p_2 - m + T] $$

Esto le da 3 FOC's la restricción presupuestaria y:

$$ 0.5x_1^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_1 \\ 0.5x_2^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_2$$

Resolver el óptimo $x_1^*$ y $x_2^*$ :

$$ x_1^* = \frac{m-T}{2p_1} = \frac{32-T}{2} \\ x_2^* = \frac{m-T}{2p_2} = \frac{32-T}{2}$$

Donde aquí las segundas igualdades se aprovechan de los supuestos que $p_1 = p_2=1$ y $m=32$ .

Ahora puedes introducir esto en la función de utilidad y, suponiendo que no te hayas equivocado, equiparar esto a la utilidad con el impuesto sobre el consumo en $p_1$ por lo que tendrás:

$$ 8 = \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \\ T =16$$

Así que bajo el régimen del impuesto sobre la renta el gobierno obtiene $T=16> t=12$ mientras que el consumidor sigue teniendo la misma utilidad que con el impuesto sobre el consumo, lo que significa que el impuesto sobre la renta es mejor. La intuición para ello es que el impuesto sobre la renta no distorsiona los precios relativos y sólo tiene un efecto sobre la renta, mientras que el impuesto sobre el consumo tiene efectos tanto sobre la renta como sobre la sustitución.