Determinación del precio de no arbitraje de max[B(T), S(T)]

Question

Se da lo siguiente,

$dB(t)=rB(t)dt$

$dS(t)= (r-\delta)S(t)dt+\sigma S(t)dW(t)$

donde, $r$ es el tipo de interés sin riesgo, $\delta$ la rentabilidad continua de los dividendos $\sigma$ es la volatilidad de los activos bursátiles y $W$ movimiento browniano.

Resolviendo la SDE que es la cuenta monetaria B y aplicando el lema de Itô sobre la dinámica de las acciones S obtengo,

$B(T)=e^{r(T-t)}$ y

$S(T)=S(t)e^{(r-\delta-\sigma^2/2)+\sigma(W(T)-W(t))}$

Sé además que el precio de No Arbitraje se define como,

$\Pi(t;X)=1/B(T)*E^Q_t[max[B(T),S(T)]]$

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Pregunta

¿Puedo anular de alguna manera B(T) ya que es determinista? ¿Cómo puedo calcular la expectativa de un máximo con un movimiento browniano W?

Soy nuevo en la teoría de la probabilidad, las matemáticas financieras y el cálculo estocástico. Agradecería que me orientaran paso a paso. Gracias.

Answer 1

$\max(B_T,S_T)=\max(0,S_T-B_T)+B_T,$ así que esto es sólo una opción de compra (con strike $B_T$ ) y además $B_T.$