¿Cómo se puede utilizar el lema de Ito para demostrar que una cartera delta-neutral está instantáneamente libre de riesgo?

Question

Los apuntes de la conferencia que estoy leyendo actualmente dan el siguiente ejemplo de una cartera delta-neutral:

• menos una derivada (cuyo valor en el momento $t$ cuando el valor del subyacente es $S_t$ se denota $f(t, S_t)$ )
• $\Delta := \frac{\partial f}{\partial S_t}$ acciones del activo subyacente al derivado

Tras este ejemplo hay una pregunta que me pide que demuestre que una cartera con cobertura delta con valor $V(t, S_t)$ está instantáneamente libre de riesgo, si $S_t$ es una difusión, utilizando el Lemma de Ito. La primera línea de la solución de estas preguntas establece que:

El Lemma de Ito nos dice que: $$dV(t, S_t) = \frac{\partial V}{\partial t} dt + \frac{\partial V}{\partial S_t} dS_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S_t^2} (dS_t)^2$$

¿Podría alguien ayudarme a entender cómo se ha deducido la expresión anterior?

Answer 1

Una vez que reste el término delta de su cartera (cancelando así el término medio en el lado derecho), los dos términos restantes no tienen incertidumbre, son deterministas. Esto se debe a que el cuadrado de $dS$ es la variación cuadrática del proceso S, presumiblemente una cantidad determinista (es decir, conocida en el momento de colocar la cobertura), y del orden de $dt$ .

Así, la cartera que queda tiene una deriva determinista sin incertidumbre (No depende del movimiento browniano), por lo que está instantáneamente libre de riesgo.