relaciones de preferencia y transformaciones monótonas de las funciones de utilidad

Question

Dado un conjunto de elección $X$ (NO se supone que sea un conjunto de mercancías...), y las funciones de utilidad $u,u'$ en $X$ está claro que si $u'$ es una transformación estrictamente monótona de $u$ entonces inducen la misma relación de preferencia en $X$ .

Mi pregunta es, ¿en qué condiciones se da lo contrario? ¿Cuáles son las condiciones menos estrictas que podemos pensar que implican que si $u,u'$ inducen la misma relación de preferencia en $X$ que $u'$ debe entonces ser necesariamente una transformación estrictamente creciente de $u$ ?

Answer 1

Dependiendo de cómo se lea la pregunta, lo contrario es válido siempre o básicamente nunca. Veamos: $u:X\to\mathbb{R}$ y $v:X\to\mathbb{R}$ sean funciones arbitrarias con rangos $u(X)$ y $v(X)$ respectivamente. No es difícil demostrar que $u$ y $v$ representan las mismas preferencias si y sólo si existe una función estrictamente creciente $h:v(X)\to\mathbb{R}$ tal que $u=h\circ v$ . Así que esta es la respuesta de "siempre".

Ahora uno podría requerir $h$ para ser definido y estrictamente creciente en todos los $\mathbb{R}$ . En ese caso, básicamente nunca se puede garantizar la existencia de tal $h$ al menos para las aplicaciones económicas estándar. Sea $X=[0,1]$ , $u$ sea dada por $u(x)=x$ y $v$ sea dada por $v(x)=x$ para $x\leq 1/2$ y $v(x)=x+1$ para $x>1/2$ . Entonces $v(X)=[0, 1/2]\cup (3/2,2]$ . Si $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función no decreciente tal que $u=h\circ v$ , todos $r\in(1/2,3/2]$ deben ser asignados al mismo punto por $h$ Así que $h$ no puede ser estrictamente creciente.

Este problema se produce siempre que $X$ es un espacio topológico conexo (por ejemplo, un subconjunto convexo de algún $\mathbb{R}^n$ ) y existe alguna representación de utilidad continua que no es constante.

El problema puede darse incluso si ambos $v$ y $u$ son continuas. Sea $X=\mathbb{R}$ , $u$ sea dada por $u(x)=x$ y $v$ sea dada por $v(x)=e^x$ . Entonces $v(X)=\mathbb{R}_{++}$ el conjunto de números estrictamente positivos. Supongamos que existe una función estrictamente creciente $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $u=h\circ v$ . Entonces $h$ sería una extensión estrictamente creciente de la función logaritmo a todo $\mathbb{R}$ , lo cual es imposible.

Por último, algún resultado positivo: Si $X$ es un espacio topológico conexo, y $u:X\to\mathbb{R}$ y $v:X\to\mathbb{R}$ son funciones continuas que representan las mismas preferencias y están acotadas por arriba o no están acotadas por abajo, entonces existe una función continua estrictamente creciente $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $u=h\circ v$ .

Answer 2

Para simplificar, consideremos el dominio $X$ para ser $\mathbb{R_+^n}$ y que $\succsim$ sea cualquier relación de preferencia (que satisfaga todos los axiomas de elección requeridos) en este dominio.

Dejemos que $\textbf{x}$ y $\textbf{y}$ pertenecen a la relación de preferencia $\succsim$ (ambos $\textbf{x}$ y $\textbf{y}$ son puntos en $\mathbb{R_+^n}$ ), de manera que $\textbf{x}$$ \N - uccsim $$\textbf{y}$ . Esto implica que existe alguna representación de utilidad $U$ de esta relación, tal que $\forall$ $\textbf{x}$ , $\textbf{y}$$ \en $$\mathbb{R_+^n}$ tenemos $U(\textbf{x})$$ \N - La vida en el mundo de los negocios $$U(\textbf{y})$ . Ahora, si consideramos cualquier función monotónicamente creciente $f(.)$ entonces la primera desigualdad se puede escribir perfectamente como $f(U(\textbf{x}))$$ \N - La vida en el mundo de los negocios $$f(U(\textbf{y}))$ , $\forall$ $\textbf{x}$ , $\textbf{y}$$ \en $$\mathbb{R_+^n}$ .

Volviendo a su pregunta, puede haber dos casos. Si ya se sabe que $U$ y $U'$ inducen la misma relación de preferencia en $X$ entonces todos los supuestos están cubiertos por los axiomas de elección estándar. Sin embargo, para demostrar que una es una transformación monótona de la otra (digamos $U'$ es una transformación monótona de $U$ ) puedes simplemente averiguar el demanda de correspondencia correspondientes a las dos funciones de utilidad, y demostrar que son esencialmente iguales. Para ver que esto es cierto, consideremos el lagrangiano $L$$ = $$f(U(\textbf{x}))$ + $\lambda$$ (w -\textbf{p.x}) $, where $ w $$\in$$ \ de la que se ha hablado. $ and $ |textobf{p} $$\in$$ \ y el de la gente de la calle. $, and $ f(.) $ is a monotonically increasing function as assumed earlier(you can also replace $ f(.) $ with $ U'(.) $, it's essentially the same thing). Taking the first order conditions, we get $ f_U(U(\textbf{x})).U_{x_i}(\textbf{x}) -\lambda.p_{x_i}= 0 $. Now, for any $ i,j $$\in$ $\{1,2,..,n\}$ tenemos $f_U(U(\textbf{x})).U_{x_i}(\textbf{x})/p_{x_i}$$ = $$f_U(U(\textbf{x})).U_{x_j}(\textbf{x})/p_{x_j}$ o $U_{x_i}(\textbf{x})/p_{x_i}=U_{x_j}(\textbf{x})/p_{x_j}$ que es la misma condición que habríamos obtenido si la función de utilidad fuera sólo $U(.)$ . Así, en lenguaje llano, las correspondencias de demanda son exactamente las mismas "expresiones algebraicas" para $f(U(.))$ y $U(.)$ .

El segundo caso puede ser cuando no se conoce ninguna relación de preferencia, sólo se dan dos funciones, $U \& U'$ . En ese caso, se puede proceder de forma similar a resolver el Lagrangiano, y comprobar si las expresiones(leídas como soluciones para todo $x_i$ ) obtenidos son iguales o no. Si no son iguales, ninguna de las dos funciones puede representarse como una transformación monótona de la otra. Si son iguales, todavía tendrá que demostrar que la "expresión" obtenida representa una correspondencia de demanda y, por tanto, existe una relación de preferencia para las funciones de utilidad dadas. Para demostrarlo, basta con comprobar si las correspondencias de demanda obtenidas satisfacen todas las propiedades de la matriz de Slutsky (puede consultar el MWG para esta sección).