¿Cómo estimar lambda para un proceso de difusión de salto a partir de datos empíricos?

Question

Así pues, no tengo ni idea de cómo hacerlo, pero ¿cómo podría elegir valores de parámetros razonables para una simulación básica de difusión de saltos, a saber $\lambda$ ?

Por ejemplo, obtener la frecuencia media de esos enormes cambios que se producen en un periodo corto, y quizá su tamaño medio.

La única idea que se me ocurre es aplicar la estimación de máxima verosimilitud a todo un modelo de salto-difusión especificado a partir de algunos datos, pero eso parece un montón de trabajo para sólo hacerse una idea de un proceso de salto razonable.

¿Cuál sería un método sencillo, pero teóricamente respetable, para hacerlo?

Answer 1

TLDR:

La frecuencia de saltos depende de cómo se especifique la distribución del tamaño de los saltos. Si quiere que la $\lambda$ para representar realmente la frecuencia de saltos bajo un determinado modelo de salto-difusión, entonces debe estimar conjuntamente todos los parámetros del modelo, por ejemplo, utilizando la estimación de máxima verosimilitud (MLE) o el método generalizado de momentos (GMM).

Ejemplo:

Consideremos un modelo general de difusión de saltos para el proceso de precios logarítmicos de los activos $X_t = \ln \left( S_t / S_0 \right)$

$$ X_t = \gamma t + \sigma W_t + \sum_{i = 1}^n Y_i $$

donde $Y_i$ son los tamaños de salto i.i.d. y el proceso de Poisson $N$ tiene una intensidad $\lambda$ . Se puede calcular con relativa facilidad la densidad de rendimiento logarítmico mediante, por ejemplo, el método COS de Fang y Oosterlee (2008) y, a continuación, ejecutar un MLE conjuntamente para todos los parámetros del modelo. Considere, por ejemplo, la siguiente especificación de la densidad de $Y_i$ :

$$ f_Y(x) = p \eta_+ e^{-\eta_+ \left( x - \kappa_+ \right)} \mathrm{1} \left\{ x \geq \kappa_+ \right\} + (1 - p) \eta_- e^{\eta_- \left( x - \kappa_- \right)} \mathrm{1} \left\{ x \leq \kappa_- \right\}. $$

1. modelo original : Para $\kappa_+ = \kappa_- = 0$ , se trata del modelo de difusión de doble salto exponencial de Kou (2002). La densidad del tamaño del salto tiene dos colas exponenciales que comienzan en el origen.

2. modelo desplazado : Para $\kappa_+ > 0$ y $\kappa_- < 0$ las dos colas se alejan del origen.

Si se estiman los dos modelos anteriores utilizando el MLE, se encontrará que bajo el modelo desplazado:

1. El coeficiente de difusión $\sigma$ es mayor y

2. la intensidad $\lambda$ más pequeño.

Esto se debe a que en el modelo original, tanto la difusión como los saltos generan un pequeño ruido de retorno. Por lo tanto, se necesitan más saltos en el modelo original para obtener el mismo número total de saltos grandes. Esto se compensa con un coeficiente de difusión menor.

El siguiente gráfico lo ilustra utilizando la medida de Levy. Se generó (i) fijando los parámetros del modelo desplazado, (ii) simulando una serie temporal de rendimientos logarítmicos y luego (iii) utilizando MLE para inferir los parámetros del modelo original que coinciden. Vemos que el comportamiento de la cola es casi idéntico. El modelo original también genera saltos en $\left[ \kappa_-, \kappa_+ \right]$ y, por tanto, necesita una mayor frecuencia de ellos.