Límites superiores de los precios de las opciones

Question

Tengo problemas para derivar los límites superiores de los precios de las opciones. Por ejemplo, estoy tratando de determinar el límite superior de una opción de venta europea.

Si defino el precio de venta como $P$ el precio final de las acciones como $S_T$ la huelga como $X$ los tipos libres de riesgo como $r$ y el tiempo de caducidad como $T$ En la actualidad, puedo crear la siguiente cartera;

Corta 1 Put, e invierte las ganancias.

Así que al principio, desde la posición de venta corta gano $P$ e invierto una cantidad igual a la tasa libre de riesgo, lo que me da una posición neta de $0$ .

Al expirar, si $S_T > X$ Tengo un flujo de caja cero de la posición de venta corta, y tengo un flujo de caja positivo de $P\text{e}^{rT}$ . Mi posición neta es $P\text{e}^{rT}$ , que es una cantidad no negativa.

Sin embargo, si al expirar $S_T < X$ Tengo un flujo de caja de $-(X-S_T)$ de la posición corta y $P\text{e}^{rT}$ de los ingresos invertidos. Se trata de una posición neta de $P\text{e}^{rT} - X + S_T$ .

A mi entender, para que esto satisfaga una condición de no arbitraje, necesitamos tener $P\text{e}^{rT} - X + S_T < 0$ . Reordenando esto debería mostrar que el límite superior de la opción de venta tiene que ser $P < X\text{e}^{rT} - S_T\text{e}^{rT}$ .

Sin embargo, cuando consulto fuentes (como Hull), me dicen que el límite superior es $P < X\text{e}^{rT}$ .

¿Dónde está el error en mi trabajo? Esto también me ayudará a entender los límites superiores de las opciones de compra europeas. Gracias.

Answer 1

En primer lugar, creo que tienes mal el descuento y la capitalización. El límite superior del precio de venta es $P_0 < X e^{-r T}$ . Esto tiene que mantenerse mientras $S_0 > 0$ .

Sin embargo, su enfoque es generalmente correcto. Supongamos que $P_0 = X e^{-r T}$ . Entonces invierte $P_0$ en el momento $t = 0$ y tienen $P_0 e^{r T} = X$ en el momento $t = T$ . Ahora hay tres estados posibles en el tiempo $t = T$ :

1. La opción de venta expira sin valor. Usted no tiene más obligaciones y se queda con $V_T = X$ .
2. La opción vence dentro del dinero pero $S_T > 0$ . Entonces tienes que pagar $P_T < X$ de su posición de venta corta, dejándole de nuevo con un flujo de caja estrictamente positivo $V_T > 0$ .
3. Tenemos $S_T = 0$ y por lo tanto $P_T = X$ . Su flujo de caja neto es ahora cero - $V_T = 0$ .

Mientras $\mathbb{P} \left\{ S_T = 0 \right\} < 1$ Esto representa un arbitraje de lotería gratuito. Es decir, tiene un flujo de caja inicial cero $V_0 = 0$ un flujo de caja terminal no negativo con probabilidad uno $\mathbb{P} \left\{ V_T \geq 0 \right\} = 1$ y un flujo de caja terminal estrictamente positivo con una probabilidad estrictamente positiva $\mathbb{P} \left\{ V_T > 0 \right\} > 0$ .

Pero cuando $\mathbb{P} \left\{ S_T = 0 \right\} = 1$ , entonces cualquier $S_0 \neq 0$ ya representaría un arbitraje por sí mismo.

Answer 2

¿Ha considerado la volatilidad implícita? Podría ser muy alta para algunas acciones volátiles, por lo que el precio de venta podría ir a valores extremadamente altos debido a iv ...