Demostrar que la condición de dispersión vertical está acotada

Question

Necesito demostrar que el diferencial vertical está acotado, utilizando la condición de no arbitraje.

  0 > (C(T,K1 )- C(T,K2))/(K1- K2 )  >-e^(-r*T )

He documentado mi solución a continuación. Puede usted amablemente revisarlo y comentar sobre mi enfoque.

Para demostrar la condición de la dispersión vertical, utilizo la siguiente desigualdad, que es el límite inferior del valor de la opción:

 C   S(0)  Ke^(rT)

El diferencial vertical se crea yendo en largo (1) en el strike (K1) y yendo en corto (-1) en el strike (K2), donde K2 K1.

C(T,K1) S(0) - K1e^(rT) y C(T,K2) S(0) - K2e^(rT) , cuando calculo la diferencia en el precio de compra obtengo

C(T,K1) - C(T,K2)  K2e^(rT) - K1e^(rT)             --(1)

C(T,K1) - C(T,K2) e^(rT)* (K2 - K1), y como K2 K1 , obtengo

C(T,K1) - C(T,K2)  0  --(2)

Si reordeno la siguiente desigualdad K2 K1 , obtengo:

K1 - K2   0    -- (3)

Si divido (2) entre (3), obtengo:

(C(T,K_1 )- C(T,K_2))/(K1- K2 )  <0   --(4) 

Como dividir el numerador positivo con el numerador negativo da un número negativo. Puedes notar que he eliminado el símbolo de igual a de la desigualdad. La razón es que cuando K1= K2 , entonces el numerador es igual a cero y también lo es el denominador, lo que lleva a un estado indefinido de la solución. (4) satisface el límite superior de las desigualdades. Reordenando la desigualdad (1), obtengo

C(T,K1 )-C(T,K2 ) -e^(-rT ) (K1- K2) 

Dividiendo la desigualdad anterior por (3.3), obtengo

 (C(T,K1 )- C(T,K2))/(K1- K2 )  >-e^((-r)T )          --(5)

Combinando las desigualdades (4) y (5), obtengo la condición de dispersión vertical requerida

0 > (C(T,K1 )- C(T,K2))/(K1- K2 )  >-e^((-rT )

Answer 1

Queremos demostrar que

\begin{equation} 0 \leq C_0 \left( K_2 \right) - C_0 \left( K_1 \right) \leq e^{-r T} \left( K_2 - K_1 \right) \end{equation}

donde $K_1 < K_2$ . Por el momento no nos preocupamos por la desigualdad estricta, pero volveré a ello más adelante. También tenemos que suponer que no hay rendimientos de tenencia del activo subyacente (por ejemplo, dividendos, repos, ...).

Para demostrar la primera desigualdad, basta con observar que la cartera $C_0 \left( K_2 \right) - C_0 \left( K_1 \right)$ tiene un pago no negativo al vencimiento

\begin{equation} V_T = \begin{cases} 0 & \text{if } S_T < K_1\\ S_T - K_1 & \text{if } S_T \in \left( K_1, K_2 \right)\\ K_2 - K_1 & \text{otherwise} \end{cases} . \fin{s} de la ecuación

Así, si el valor actual de esta cartera fuera negativo, tendríamos un arbitraje del tipo "free lunch".

Para la segunda desigualdad, nótese que el pago está acotado desde arriba por $\Delta = K_2 - K_1$ . Si el valor actual $V_0$ de la propagación fue mayor que $e^{-r T} \Delta$ entonces lo venderíamos ahora, invertiríamos los ingresos en el activo sin riesgo y tendríamos un valor terminal estrictamente superior a $\Delta$ para una obligación de como máximo $\Delta$ . De nuevo, se trata de un almuerzo gratuito.

En cuanto a la desigualdad estricta: En el primer caso si $V_0 = 0$ y existe una probabilidad no nula de $S_T > K_1$ Entonces tendríamos un arbitraje de "lotería gratis". Es decir, no pagas nada por algo que te da una recompensa no negativa con probabilidad uno y una recompensa estrictamente positiva con una probabilidad estrictamente positiva. En el segundo caso, si la probabilidad de $S_T < K_2$ también es distinto de cero, entonces se puede hacer el mismo argumento para recibir $e^{-r T} \Delta$ ahora por una obligación futura que nunca es mayor que $\Delta$ pero tiene una probabilidad estrictamente positiva de ser menor.

Answer 2

Dejemos que $x^+ = \max(x, 0)$ . Obsérvese que, para dos números reales cualesquiera $x$ y $y$ , \begin{align*} (x+y)^+ \le x^+ + y^+. \end{align*} Entonces, para $K_1 < K_2$ , \begin{align*} (S_T-K_1)^+ &= (S_T-K_2+ K_2-K_1)^+\\ &\le (S_T-K_2)^+ + K_2-K_1, \end{align*} y, en consecuencia, \begin{align*} (S_T-K_1)^+ -(S_T-K_2)^+ \le K_2-K_1. \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} C(T, K_1) -C(T, K_2) \le (K_2-K_1)e^{-rT}. \end{align*}