Encontrar un equilibrio estable

Question

Estoy tratando de determinar qué estrategia es estocásticamente estable.

En mis notas de clase, asignamos probabilidades $a$ , $b$ $1-a-b$ a las estrategias del jugador 2 $T,M,B$ resp.

Por lo tanto, tenemos los pagos

$$u(t)=2a+1-a-b$$ $$u(m)=b+2-2a$$ $$u(b)=4-2b-3a$$

Y de ello se deduce que $b,b$ es estable estocásticamente. Intenté usar las utilidades para derivar un sistema de tres ecuaciones, y mostrar que $B$ produce la mayor ganancia para el mayor rango de $a$ y $b$ pero no parece que tenga éxito.

Answer 1

Como advertencia, descargo de responsabilidad, no estoy demasiado familiarizado con la Teoría Evolutiva de los Juegos y está bastante fuera de mi área de investigación/áreas principales de experiencia. Sin embargo, puedo mostrar aquí esa gama de $(a,b)$ para lo cual $B$ es la mejor respuesta es estrictamente mayor que para cualquiera de las otras dos estrategias. Para ello,

Se puede caracterizar la gama de $(a,b)$ para lo cual $B$ es la mejor respuesta (estricta) resolviendo el sistema

$$\begin{split} 42b3a &\> b+2-2a\\ 42b3a &> 1+a-b\\ \end{split}$$

O,

$$\begin{split} 2 &> 3b + a\\ 3 &> 4a + b\\ \end{split}$$

O,

$$\begin{split} a &> 7/11, b<3-4a\\ a &\leq 7/11, b<\frac{2-a}{3}\\ \end{split}$$

Podemos resolver el área de este cuadrilátero:

$$\begin{split} B &= \int_{0}^{7/11}\frac{2-a}{3}da + \int_{7/11}^{3/4}(3-4a)da\\ &= \frac{259}{726} + \frac{25}{968} = \frac{101}{264} \approx .382\bar{57} \end{split}$$

Mediante un análisis similar para $M$ obtenemos

$$\begin{split} a &> 7/11, b>\frac{3a-1}{2}\\ a &\leq 7/11, b>\frac{2-a}{3}\\ \end{split}$$

Por lo tanto,

$$\begin{split} M &= 1 - \int_{0}^{7/11}\frac{2-a}{3}da - \int_{7/11}^{1}\frac{3a-1}{2}da\\ &= 1 - \frac{259}{726} - \frac{32}{121} = \frac{25}{66} \approx .3\bar{78} \end{split}$$

Finalmente,

$$T=1-\frac{25}{66}-\frac{101}{264} = \frac{21}{88} \approx .238\bar{63}$$

Desde $$\begin{split} \frac{101}{264} &> \frac{25}{66}\\ \frac{101}{264} &> \frac{21}{88} \end{split}$$ se muestra el resultado.