Aversión al riesgo absoluto constante y equivalente de certeza

Question

Necesito demostrar que la Aversión al Riesgo Absoluto Constante (CARA) es equivalente a \begin{gather} \int u'(x)dF(x) = u'(c(F,u)) \end{gather}

donde $u(x)$ es una función de utilidad Bernoulli, $F$ es la distribución de la lotería y $c(F,u)$ es el equivalente a la certeza.

Partí del hecho de que el CARA se define como $-\frac{u''(x)}{u'(x)}=a$ , donde $a$ es una constante y que el equivalente de certeza se define como $u(c(F,u))=\int u(x)dF(x)$ .

He intentado mezclar las dos definiciones pero estoy un poco perdido con la interacción de la integración y la diferenciación.

¿Tienes alguna pista?

Answer 1

Quizá no sea la mejor manera de demostrar la afirmación. Pero fíjate en que una utilidad CARA es equivalente a tener la forma funcional general: \begin{equation} u(x)=-\alpha \mathrm e^{-ax-b}+\beta,\quad\text{where $a,\alpha>0$ and $b,\beta\in\mathbb R$}. \end{equation} Sabiendo esto, el resto debería ser sencillo.