déficit esperado como expectativa incondicional

Question

Acerbi dispone de varias pruebas retrospectivas para el déficit esperado. El segundo backtest se basa en esta igualdad

¿Alguien sabe cómo derivar esta igualdad? ¿Puede alguien explicar, por qué tiene sentido, especialmente dividiendo por $\alpha$ ?

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Antecedentes: Tomé la igualdad de esta presentación https://www.cass.city.ac.uk/faculty-and-research/faculties/finance/seminars-and-workshops/financial-engineering-workshops/ACERBI-Carlo-10.03.2015.pdf

Así es como conozco el déficit previsto

Answer 1

Dejar $X_t$ sea una variable aleatoria, su expectativa condicional con respecto a algún evento $E$ está dada por:

$$ \mathbb{E}^{\mathbb{P}}[X_t|E]=\frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[\mathbf{1}_EX_t]}{\mathbb{P}(E)}$$

En nuestro caso, el déficit esperado se define como:

$$ \text{ES}_{\alpha,t} = -\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[X_t|X_t + \text{VaR}_{\alpha} < 0]$$

Por lo tanto:

$$ \begin{align} \text{ES}_{\alpha,t} & = -\frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[\mathbf{1}_{\{X_t + \text{VaR}_{\alpha} < 0\}}X_t]}{\mathbb{P}(X_t + \text{VaR}_{\alpha} < 0)} \\[9pt] & = -\frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[\mathbf{1}_{\{X_t + \text{VaR}_{\alpha} < 0\}}X_t]}{\alpha} \\[11pt] & = -\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\frac{\mathbf{1}_{\{X_t + \text{VaR}_{\alpha} < 0\}}X_t}{\alpha}\right] \end{align} $$

El segundo paso es una consecuencia de la definición de $\text{VaR}_{\alpha}.$