De la ecuación de la oferta agregada a la definición de la tasa de inflación

Question

Por definición, la tasa de inflación es $$\pi=\dfrac{P-P_{-1}}{P_{-1}}\cdot100\%$$ o podría definirse en términos del índice de precios al consumo IPC, pero en este caso creo que el primero es el que hay que considerar.

Del libro Macroeconomia de Blanchard, Amighini y Giavazzi, la ecuación de la oferta agregada es \begin{equation} P=P^e(1+\mu)F(u^-,z^+) \end{equation} A partir de aquí, y tomando una $F:$

\begin{align} P&=P^e(1+\mu)e^{-\alpha u+z} \nonumber\\ \ln(P)&=\ln(P^e)+\ln(1+\mu)-\alpha u+z \nonumber\\ \ln(P)-\ln(P_{-1})&=\ln(P^e)-\ln(P_{-1})+\ln(1+\mu)-\alpha u+z \nonumber\\ \ln(P)-\ln(P_{-1})&=\ln(P^e)-\ln(P_{-1})+\mu-\alpha u+z\dots \text{due to $\ln(1+\mu)\approx\mu$ because $\mu$ is close to $0$ } \nonumber \end{align}

Así, \begin{align}\pi=\pi^e+(\mu+z)-\alpha u \end{align}

¿Por qué? Por ejemplo, cómo pasar de $\ln(P)-\ln(P_{-1})$ a $\pi$ ?

Sabemos que $\ln(P)-\ln(P_{-1})=\ln\dfrac{P}{P_{-1}}\fbox {=?}\dfrac{P}{P_{-1}}-1$

Gracias de antemano

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Answer 1

Esto se debe a que para valores pequeños $x$ , $$\ln x_{t+1} - \ln x_{t} \approx \frac{x_{t+1}-x_{t}}{x_{t}}.$$

Esto es así ya que la tasa de crecimiento $g$ puede expresarse como sigue:

$$g= \frac{x_{t+1}-x_{t}}{x_{t}} \implies x_{t+1} = (1+g)x_{t}$$

tomando registros lo conseguimos:

$$ \ln x_{t+1} = \ln (1+g)+ \ln x_{t} \implies \\ \ln x_{t+1} -\ln x_{t} = \ln (1+g) $$

Por último, para valores pequeños de $g$ conseguimos que $\ln (1+g) \approx g$ así obtenemos:

$$\ln x_{t+1} -\ln x_{t} \approx g $$

De la misma manera, para valores pequeños de la inflación (y la inflación típicamente tomará valores $\pi<0.1$ ) es completamente razonable definir la inflación como $\pi = \ln P_t - \ln P_{t-1}$ (aunque sería más apropiado utilizar $\approx$ ).