¿Cómo se demuestra la convergencia de una trayectoria en el modelo de Ramsey?

Question

Consideremos el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans en tiempo discreto. En concreto, consideremos el siguiente diagrama de fases.

Para simplificar, consideremos la trayectoria marcada como A, que se encuentra en la esquina noroeste de este diagrama.

En este lugar, supuestamente $K_{t+1}<K_t$ y $C_{t+1}>C_t$ . ¿Pero cómo se demuestra esto? Hasta ahora, todo lo que he visto es que "supuestamente" esta trayectoria se desvía, pero no veo cómo lo hace necesariamente.

Dejemos que $$C_t = K_t^\alpha + (1-\delta)K_t - K_{t+1}$$

Mi pregunta

¿Puede alguien explicar por qué A se desvía hacia el NO? En concreto, ¿por qué $K_{t+1}<K_t$ y $C_{t+1}>C_t$ ?

Answer 1

Véase Romer (2006, Sec 2.3) para los detalles de la notación. La dinámica viene dada por \begin{align} \dot k &= f(k) - (n+g)k - c\\ \dot c &= \frac{c}{\theta}(f'(k) - \rho - \theta g) \end{align}

Supongo que se encuentra en algún lugar de la $\dot k = 0$ locus. Ahora bien, si aumentamos $c$ se obtiene \begin{align} \frac{\partial \dot k}{\partial c} = -1 < 0 \end{align}

Es decir, si estamos por encima de $\dot k = 0$ El capital disminuye con el tiempo. Por lo tanto, en el punto $A$ nos movemos hacia la izquierda.

Ahora suponga que se encuentra en algún lugar de la $\dot c = 0$ locus. Ahora bien, si aumentamos $k$ se obtiene \begin{align} \frac{\partial \dot c}{\partial k} = \frac{c}{\theta} f''(k) < 0 \end{align}

Es decir, si tenemos razón de $\dot c = 0$ el consumo disminuye con el tiempo. Por lo tanto, en el punto $A$ nos movemos hacia arriba en la adición (a la izquierda de $\dot c = 0$ ).