¿Solución analítica de forma cerrada para la varianza de la cartera de mínima varianza?

Question

El vector de pesos de la cartera de mínima varianza tiene una solución analítica de forma cerrada,

$$\boldsymbol{w} = \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1} }{\boldsymbol{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1}}$$

pero ¿existe un cálculo directo para la varianza de la misma cartera $\sigma_p^2$ ?

Dado que $ \sigma_p^2 = \boldsymbol{w^\top \Sigma w}$ , lo que supone la simplificación de

\begin{aligned} \sigma_p^2 & = \left( \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1} }{\boldsymbol{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1}}\right)^\top \cdot \boldsymbol{\Sigma} \cdot \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1} }{\boldsymbol{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1}} \\ & = \frac{\boldsymbol{1} ^\top(\boldsymbol{\Sigma}^\top)^{-1}}{\boldsymbol{1} ^\top\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1} } \cdot \boldsymbol{\Sigma} \cdot \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1} }{\boldsymbol{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{1}} \\ & = ? \end{aligned}

$$$$

¿Y qué hay de la varianza de la cartera de la relación máxima de Sharpe?

Answer 1

Unos pocos pasos más allá de su última ecuación dan la respuesta.

Con $C = \mathbf{1}^T\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}$ tenemos

$$\sigma_P^2 = [C^{-1} \mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}]^T \mathbf{\Sigma} [C^{-1}\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}] = C^{-2}\mathbf{1}^T(\mathbf{\Sigma}^{-1})^T\mathbf{\Sigma} \mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}$$

Desde $[(\mathbf{\Sigma}^{-1})^T\mathbf{\Sigma}^T]^T = \mathbf{\Sigma}\mathbf{\Sigma}^{-1} = \mathbf{I} = \mathbf{I}^T$ se deduce que $(\mathbf{\Sigma}^{-1})^T= (\mathbf{\Sigma}^T)^{-1}$ . Como la matriz de covarianza es simétrica, esto implica $(\mathbf{\Sigma}^{-1})^T= \mathbf{\Sigma}^{-1}$ .

Así,

$$\sigma_P^2 = C^{-2}\mathbf{1}^T\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{\Sigma} \mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}= C^{-2}\mathbf{1}^T\ \mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}= C^{-2}C = \frac{1}{ \mathbf{1}^T\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}}$$

Answer 2

Dejemos que

\begin{align} a&\equiv \mathbf{1}^T\mathbf{\Sigma}^{-1}\mathbf{1}\\ b&\equiv \mathbf{1}^T\mathbf{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}\\ c&\equiv \boldsymbol{\mu}^T\mathbf{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu} \end{align}

Entonces \begin{align} \mathrm{E(minVarPortfolio)}& = \frac{b}{a}\\ \mathrm{V(minVarPortfolio)}& = \frac{1}{a}\\ \mathrm{E(TangencyPortfolio)}& = \frac{c}{b}\\ \mathrm{V(TangencyPortfolio)}& = \frac{c}{b^2}\\ \mathrm{Cov(MVP,Tangency)}& = \frac{1}{a}\\ \end{align}

Efectivamente, la covarianza entre cualquier cartera eficiente y el MVP es $1/a$ .