derivadas parciales de una función multivariable

Question

Buscando verificar si la siguiente formulación es correcta. Supongamos que tenemos la siguiente función, relaciones:

$$y=f(x)$$ $$x=g(a,b)$$ $$y=f[g(a,b)]$$

¿Es correcto lo siguiente (incluyendo la notación)? $$\frac{dy}{dx}=\frac{\partial y}{\partial a}+\frac{\partial y}{\partial b}$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial a}+\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial b}$$

En palabras, la derivada total de la función compuesta $y$ con respecto a $x$ es la suma de las derivadas parciales de $y$ con respecto a $a$ y $b$

Answer 1

No, en general esto no es cierto. Por ejemplo, considere \begin{align*} y(x)&:=x,\\ x(a,b):&=a+b. \end{align*} Entonces tenemos $$\frac{\partial y}{\partial x}=1$$ pero $$\frac{\partial y}{\partial a} + \frac{\partial y}{\partial b}=2. $$