Las siguientes ecuaciones son tomadas de Ravenna, Walsh: "Política Monetaria Óptima con Desempleo y Precios Rígidos" (2011).
(i)$$\frac{Z_{t}}{\mu_{t}} = w_t + \frac{\kappa}{q_{t}} - (1-\rho)E_{t}(\frac{1}{R_{t}})(\frac{\kappa}{q_{t+1}}) $$
(ii) $$ w_{t} = w^u + (\frac{b_t}{1-b_t})(\frac{\kappa}{q_t}) - (1-\rho)E_t(\frac{1}{R_t})(1-p_{t+1})(\frac{b_{t+1}}{1-b_{t+1}})(\frac{\kappa}{q_{t+1}}) $$
$ \phi $... tasa de reemplazo salarial
$b_t$... parte excedente de negociación de un trabajador
$Z_t$... shock exógeno de productividad ($\bar{Z}=1$)
$\mu_t$... margen de precios al detal
$\kappa$... costo de publicar una vacante
$\rho$... Proporción de coincidencias $N_{t-1}$ que pierden sus trabajos en t
$q_t$... probabilidad de que una empresa llene su vacante
$\lambda_t$... utilidad marginal del consumidor
$\frac{1}{R_t} \equiv \beta(\frac{\lambda_{t+1}}{\lambda_t})$
$p_{t+1} \equiv \frac{m_t}{u_t}$... probabilidad de encontrar trabajo con $m_t$ coincidencias y $u_t$ desempleados
$\beta$... factor de descuento
$w^u = \phi w $
Dada la última identidad, (i) y (ii) podrían utilizarse para resolver conjuntamente $\kappa$ y $w$. Al menos esto es sugerido en el documento por los autores.
(ii) $w_t = \phi w_t + (\frac{b_t}{1-b_t})(\frac{\kappa}{q_t}) - (1-\rho)E_t(\frac{1}{R_t})(1-p_{t+1})(\frac{b_{t+1}}{1-b_{t+1}})(\frac{\kappa}{q_{t+1}})$
<=> $w_t = \frac{(\frac{b_t}{1-b_t})(\frac{\kappa}{q_t}) - (1-\rho)E-t(\frac{1}{R_t})(1-p_{t+1})(\frac{b_{t+1}}{1-b_{t+1}})(\frac{\kappa}{q_{t+1}})}{1-\phi}$
Colocar en (i) para eliminar $w_t$
$\frac{Z_{t}}{\mu_{t}} = \frac{(\frac{b_t}{1-b_t})(\frac{\kappa}{q_t}) - (1-\rho)E_t(\frac{1}{R_t})(1-p_{t+1})(\frac{b_{t+1}}{1-b_{t+1}})(\frac{\kappa}{q_{t+1}})}{1-\phi} +\frac{\kappa}{q_{t}} - (1-\rho)E_{t}(\frac{1}{R_{t}})(\frac{\kappa}{q_{t+1}}) $
<=> $\frac{Z_{t}}{\mu_{t}}(1-\phi) = (\frac{b_t}{1-b_t})(\frac{\kappa}{q_t}) - (1-\rho)E_t(\frac{1}{R_t})(1-p_{t+1})(\frac{b_{t+1}}{1-b_{t+1}})(\frac{\kappa}{q_{t+1}}) +\frac{\kappa}{q_{t}}(1-\phi) - (1-\rho)E_{t}(\frac{1}{R_{t}})(\frac{\kappa}{q_{t+1}})(1-\phi) $
Reorganizar y resolver para $\kappa$:
$\frac{Z_{t} (1-\phi)}{\mu_{t} ((\frac{b_t}{1-b_t})(\frac{1}{q_t}) - (1-\rho)E_t(\frac{1}{R_t})(1-p_{t+1})(\frac{b_{t+1}}{1-b_{t+1}})(\frac{1}{q_{t+1}}) +\frac{1}{q_{t}}(1-\phi) - (1-\rho)E_{t}(\frac{1}{R_{t}})(\frac{1}{q_{t+1}})(1-\phi)} = \kappa $
<=> $\kappa = \frac{Z_{t} (1-\phi)}{\mu_{t} \big(\big(\frac{1}{q_t}\big)\big[(\frac{b_t}{1-b_t})+(1-\phi)\big] - (1-\rho)\big(\frac{1}{q_{t+1}}\big)E_t\big(\frac{1}{R_t}\big)\Big[(1-p_{t+1})\big(\frac{b_{t+1}}{1-b_{t+1}}\big)+(1-\phi)\big]\big)}$
Evaluando esta fórmula alrededor del estado estacionario produce
$\bar{\kappa} = \frac{(1-\phi)}{\bar{\mu} \big(\big(\frac{1}{\bar{Q}}\big)\big[(\frac{b}{1-b})+(1-\phi)\big] - (1-\rho)\big(\frac{1}{\bar {Q}}\big)\beta\Big[(1-\frac{\bar{M}}{\bar{U}})\big(\frac{b}{1-b}\big)+(1-\phi)\big]\big)}$
Dado que todos estos parámetros y valores del estado estacionario están bien definidos, puedo calcular el valor del estado estacionario de $\kappa$ y por lo tanto también el de $w_t$.
Quería simular el modelo relacionado en dynare. Al echar un vistazo al código dynare proporcionado por los autores, noté que utilizaron un enfoque totalmente diferente para calcular el valor del estado estacionario de $\kappa$:
$AAk = \left[{\begin{array}{cc} 1-\phi(1-b) & -\phi b(1-\rho)\beta \bar{\theta}\\ 1-b & (1-\beta(1-\rho))(\frac{1}{\bar{Q}})+ b\beta(1-\rho)\bar{\theta} \end{array} } \right]$
$BBk = \left[ {\begin{array}{cc} \frac{\phi b}{\bar{\mu}} \\ \frac{(1-b)}{\bar{\mu}} \end{array} } \right] $
$CCk = AAk^{-1}BBk$
$\bar{\kappa}=CCk(2)$
Donde
$\theta_t=\frac{v_t}{u_t}$ mide la solidez del mercado laboral (relación de vacantes y solicitantes de empleo)
Me gustaría saber si mi derivación del valor del estado estacionario para $\kappa$ tiene sentido y cómo los autores del documento lo derivan. He leído el apéndice del documento y también el código dynare, pero para ser honesto no tengo una idea de cómo calculan $\kappa$.
Los resultados de mi cálculo y el de Ravenna y Walsh difieren significativamente.
