Homogeneidad de grado cero y normalización

Question

Uno de los primeros supuestos es que la función de demanda es homogénea de grado cero. La razón y la prueba son fáciles.

También debería ser fácil por qué esto implica que podemos normalizar el precio de un bien a 1, pero no puedo ver exactamente lo que está pasando. Un contraejemplo sería de gran ayuda, es decir, una función con homogeneidad diferente de cero que demuestre que la normalización no es posible/conduce a conclusiones erróneas.

Answer 1

Demanda $x(p, m)$ es la solución al problema de maximización de la utilidad:

$\max\limits_{x\in\mathbb{R}^n_+} \ \ u(x) \\ \text{s.t.} \ \ p\cdot x \leq m$

donde $p\in\mathbb{R}^n_{++}$ es el vector de precios, y $m$ es el ingreso.

Si multiplicamos ambos lados de la restricción del problema anterior por $\lambda > 0$ Y si miramos el problema revisado obtenemos

$\max\limits_{x\in\mathbb{R}^n_+} \ \ u(x) \\ \text{s.t.} \ \ \lambda p\cdot x \leq \lambda m$

Como esta operación no afecta a la restricción, la solución no se ve afectada, es decir, la demanda satisface $x(\lambda p, \lambda m) = x(p, m) $ lo que demuestra que la demanda es homogénea de grado 0 en $(p, m)$ . Por lo tanto, esto es siempre cierto para la función de demanda. Dado que $p_1 > 0$ podemos tomar $\lambda = \frac{1}{p_1}$ y encontrar $x\left(\frac{p}{p_1}, \frac{m}{p_1}\right)$ para conseguir $x(p, m)$ .

Es útil observar que para cualquier función $f(p)$ que es homogénea de grado $k > 0$ es el caso que $f(\lambda p) = \lambda^k f(p) \neq f(p)$ para $\lambda \neq 1$ .