Demostrar que la utilidad es cóncava

Question

Consideremos un hogar que resuelve el siguiente problema: $$v(k,r,w)=\underset{c,l\in B{(k,r,)}}{\ {max}} \{u(c,l)\}$$

donde $u : R_+^2 \rightarrow R$ es una función estrictamente cóncava, dos veces continuamente diferenciable y estrictamente creciente en sus dos argumentos: el consumo, $c$ y el ocio, $l$ . Las restricciones que el hogar debe obedecer al seleccionar $c, l$ se resumen en $B$ : $$B(k, r, w) = {\{c, l : 0 c rk + w(1 l), 0 l 1\}}$$

Aquí, $k, r, w > 0$ son números sobre los que el hogar no tiene control. Demuestre que $v$ es cóncavo en $k$ y que la derivada de $v$ con respecto a a $k$ existe para "interior $k$ '. Mostrar una fórmula para la derivada de $v$ .

Lo que estaba pensando para resolver esto es seguir el teorema de Benveniste y Scheinkman sobre la diferenciabilidad $: D R$ definida en el barrio $D$ de $x_0$ es decir $D X$ y $x_0 int(D)$ tal que: $(x) v(x)$ y $(x_0) = v(x_0)$ .

Y $(.)$ es cóncava y diferenciable, entonces $v(.)$ es diferenciable en $x_0$ y $v'(x_0) ='(x_0)$ .

Supongo que tenemos que sustituir c por $rk + w(1 l)$ en la función de utilidad, pero estoy un poco confundido con el ocio. Porque después de eso, creo que sólo debemos obtener el teorema de la envolvente o no?

Answer 1

Compartiendo mi respuesta por ahí, corregidme si me equivoco. $u(c,l)=u(rk+w(1-l), l)$

$U$ es estrictamente cóncavo y diferenciable. Sea $max$ u alcanzado en $(c^*, l^*)$ es decir $(k^*, l^*)$ .

Entonces $v(k^*)=u(k^*)$ y $u(k) ≤ v(k)$

Entonces por el Teorema 4.10 (Benveniste & Scheinkman), $v$ es diferenciable en $k^*$ .

$V_k^*=U_k(rk^* + w(1-l^*, l*) = U_c(rk^* + w(1-l^*, l*)$