Modelo de Solow, tiempo y estado estacionario

Question

Supongamos que tenemos un modelo de Solow:

$$ Y(t)=C(t)+I(t) $$

$$ I(t)=sY(t) $$

$$ \dot K=I(t)-K(t) $$

Con un Cobb-Douglas dado:

$$ Y(t)=Z(t)K^aL^{1-a} $$

$$ y(t)=Y(t)/L(t) $$

$$ k(t)=K(t)/L(t) $$

$$ y=Zk^a $$

También conocemos estos:

$$ L=L(t), \dot L/L=n $$

$$ Z=Z(t), \dot Z/Z=g $$

Por lo tanto, tenemos:

$$ L(t)=L(0)e^{nt} $$

$$ Z(t)=Z(0)e^{gt} $$

Llegamos a este punto:

$$ \dot k=sZk^a-(n+)k $$

En el estado estacionario:

$$ k=k^* $$

$$ k^*=\left(\frac{sZ}{n+}\right)^{1/(1-a)} $$

La pregunta tiene que ver con la dimensión del tiempo en Z. El tiempo entra en la expresión final si sustituimos Z por lo que encontramos arriba, pero no estoy seguro de qué hacer con esto.

$$ k^*=\left[\frac{sZ(0)e^{gt}}{n+}\right]^{1/(1-a)} $$

Seguramente hay algo que este neófito está confundiendo. Pensaba que en un estado estacionario el capital por trabajador permanece igual.

Answer 1

En el modelo con progreso tecnológico el el capital por trabajador efectivo se mantiene constante , implica que el capital por trabajador crece al ritmo de la tasa exógena de progreso tecnológico. Véase el libro de Barro y Martin, capítulo 1.

Answer 2

Kshitiz tiene razón. Si defines capital efectivo por trabajador como $\hat k(t) \equiv \dfrac{K(t)}{L(t)Z(t)}$ la ecuación de la dinámica de $\hat k(t)$ es:

$$ \dot {\hat k} (t) = s {\hat k}^a - (n+g+\delta){\hat k} $$

de donde se obtiene el capital efectivo constante por trabajador en el estado estacionario:

$$ {\hat k} = \left(\frac{s}{n+g+\delta}\right)^{1/(1-a)} $$

Intuitivamente, cada período el producto marginal del capital es creciente debido a la expansión exógena de $Z(t)$ . En el diagrama de Solow estándar con capital por trabajador en el eje horizontal, este cambio técnico exógeno supone una expansión hacia el exterior del $y$ y $sy$ curvas. Este mayor rendimiento del capital induce una mayor inversión y una expansión del capital por trabajador. Como el cambio técnico se produce cada período, este proceso continúa para siempre.