Covarianza del producto del proceso normal logarítmico y del proceso normal

Question

He intentado calcular la siguiente covarianza : $$Cov(e^{\int_{t}^{T}W^1_sds},\int_{t}^{t+1}W^2_sds)$$

donde $W^1_t$ y $W^2_t$ son movimientos brownianos tales que $dW_t^1dW_t^2=\rho dt $

Mi idea era utilizar el lema de Ito sobre el proceso $(e^{\int_{u}^{T}W^1_sds}\int_{u}^{t+1}W^2_sds)_u$ con $u<t$ y luego tratar de encontrar la expectativa de la EDP resultante cuando tomamos la expectativa en ambos lados de la ecuación de Ito.

Pero no estoy seguro de que esto funcione, ya que el PDE resultante no tiene solución.

¿Puede alguien ayudarme en este sentido? ¿Tienen otras ideas sobre cómo calcular esta covarianza?

Gracias de antemano.

Answer 1

Lo intentaré, pero aún no estoy 100% seguro de que sea el camino a seguir.

Ansatz:

Busquemos la distribución de la integral de un movimiento browniano con respecto al tiempo (llámalo $x$ ) y encontrar la expectativa del producto de dos integrales de este tipo $x$ y $y$ . A continuación, calcula la covarianza como $Cov(x,y)=E(xy)-E(x)E(y)$ .

1. Distribución de $I(t,T)\equiv\int\limits_{s=t}^{T}W_s\mathrm{d}s$

Desde esta respuesta sabemos que $$ I(t,T)\equiv \int\limits_{s=t}^{T}W_s\mathrm{d}s=\int\limits_{s=t}^{T}(T-s)dW_s $$

y que $I(t,T)$ se distribuye normalmente con $$I(t,T)\sim \mathrm{N}\left(0,\frac{1}{3}(T-t)^3\right)$$

2. Expectativa de $I(t,T)I(t,U)$

Por la misma vía de razonamiento (y algún débil recuerdo de Iso isometría yo diría que sí:

$$ \begin{align} \mathrm{E}\left(I(t,T)I(t,U)\right)&=\mathrm{E}\left(\int\limits_{s=t}^{T}(T-s)\mathrm{d}W_s\int\limits_{x=t}^{U}(U-x)\mathrm{d}W_x\right)\\ &=\mathrm{E}\left(\int\limits_{s=t}^{T}\int\limits_{x=t}^{U}(T-s)(U-x)\mathrm{d}W_s\mathrm{d}W_x\right)\\ &=\int\limits_{s=t}^{T}\int\limits_{x=t}^{U}(T-s)(U-x)\mathrm{E}\left(\mathrm{d}W_s\mathrm{d}W_x\right)\\ &=\int\limits_{s=t}^{U}(U-s)^2\rho\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{3}(U-t)^3 \end{align} $$ N.B.: suponemos que $U\leq T$ .

3. $I(t,T)$ y $I(t,U)$ se distribuyen normalmente de forma bivariada

Simplifiquemos y dejemos que $x_1\equiv I(t,T)$ , $x_2\equiv I(t,U)$ y $\mathbf{x}=\left(x_1,x_2\right)^T$ También deja que $\sigma_1^2=\frac{1}{3}(T-t)^3$ , $\sigma_2^2=\frac{1}{3}(U-t)^3$ y $\sigma_{1,2}=\frac{1}{3}\rho (U-t)^3$ . Entonces $\mathbf{x}$ se distribuye normalmente de forma bivariada como

$$ \mathbf{x}\equiv\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\sim \mathrm{N}\left(\mathbf{0},\begin{pmatrix}\sigma_1^2 & \sigma_{1,2}\\ \sigma_{1,2} & \sigma_2^2\end{pmatrix}\right) $$

4. Aplique el función generadora de momentos (MGF):

Ahora vamos a utilizar un pequeño truco que aprendió hace poco . Dado un vector real $\mathbf{t}$ la MGF de la distribución normal multivariante se define como $\varphi_X(t)\equiv\mathrm{E}\left(e^{\mathbf{t}^T\mathbf{x}}\right)=e^{\mathbf{t}^T\mathbf{\mu}+\frac{1}{2}\mathbf{t}^T\mathbf{\Sigma}\mathbf{t}}$ y, en nuestro caso, esto es

$$ \varphi(t_1,t_2)=\mathrm{E}\left(e^{t_1x_1+t_2x_2}\right)=e^{\frac{1}{2}t_1^2\sigma_1^2+\frac{1}{2}t_2^2\sigma_2^2+t_1t_2\sigma_{1,2}} $$

Tenga en cuenta que

$$ \left.\frac{\partial \left(e^{x+ty}\right)}{\partial t}\right|_{t=0}=ye^x $$

así,

$$ \begin{align} \mathrm{E}\left(e^{I(t,T)}I(t,U)\right)&=\mathrm{E}\left(e^{x_1}x_2\right)\\ &=\left.\frac{\partial \varphi(t_1=1,t_2)}{\partial t_2}\right|_{t_2=0}\\ &=e^{\frac{1}{2}\sigma_1^2}\sigma_{1,2}\\ &=\frac{1}{3}\rho(U-t)^3e^{\frac{1}{6}(T-t)^3} \end{align}$$

5. Poner todo junto

Así, para los movimientos brownianos $W^1_t, W_2^t$ con $dW_1dW_2=\rho dt$

$$ \begin{align} \mathrm{Cov}\left(e^{\int\limits_{s=t}^TW^1_s\mathrm{d}s}\int\limits_{x=t}^UW^2_x\mathrm{d}x\right)&=\mathrm{E}\left(e^{x_1}x_2\right)-\mathrm{E}\left(e^{x_1}\right)\mathrm{E}(x_2)\\ &=\mathrm{E}\left(e^{x_1}x_2\right)\\ &=1/3\rho(U-t)^3e^{\frac{1}{6}(T-t)^3} \end{align} $$

Answer 2

Pista (demasiado larga para un comentario). Las integrales $$ X_1:=\int_t^{T_1}W^1_s\,ds\,,\quad\quad X_2:=\int_t^{T_2}W^2_s\,ds $$ son dos normales con expectativa cero, varianzas $$ \sigma_i^2=\int_t^{T_i}\int_t^{T_i}\min(u,s)\,du\,ds\quad\quad\text{(can be solved) }\,,\quad\quad i=1,2 $$ y la covarianza $$ \gamma=\rho\int_t^{T_1}\int_t^{T_2}\min(u,s)\,du\,ds\quad\quad\text{(can be solved). } $$ Debería ser sencillo calcular $$ {\rm Cov}(e^{X_1},X_2)\,. $$