El conjunto de presupuestos se define siempre a partir de un vector de precios $p=(p_i)_{i\leq l}$ (parece que $l$ es el número de bienes en su problema) y un ingreso $w$ . Solemos suponer implícitamente que los precios son estrictamente positivos y que la renta es finita. De lo contrario, como usted señala correctamente, acabamos con el consumo infinito siendo óptimo y ni siquiera tenemos un problema económico (definiendo vagamente la economía como la ciencia de los incentivos en relación con la asignación de bienes ESCAROS).
Un conjunto está acotado si existe un límite superior y otro inferior. Tenemos el límite inferior de $x_i\geq 0$ para todas las mercancías $i$ por construcción del problema. Sólo podemos tener un límite superior para cualquier cantidad $x_i$ si $p_i>0$ y un finito $w$ . Supongamos que algún finito $\overline x= (\overline x_i)_{i \leq l}$ eran un límite superior y $p_i=0$ para algunos $i$ . Entonces puede ver que este $\overline x_i$ no puede ser el límite superior, porque $\overline x_i+\epsilon$ también está en el presupuesto establecido para cualquier $\epsilon>0$ .
EDIT: Lo siento, he ignorado la pregunta sobre el no vacío. Tomemos cualquier renta finita y precios positivos y observemos que $x$ es una elección continua. Tome el precio máximo $\overline p= \max_i (p_i)_{i\leq l}$ y luego considerar un vector de cantidades $\widehat x= (\widehat x_i)_{i\leq l}$ con $\widehat x_i= \frac{w}{l \overline p}$ entonces $\sum \widehat x_i p_i \leq \sum \widehat x_i \overline p = l \frac{w}{l \overline p} \underline p=w$ . Así que el vector de cantidad $\widehat x$ está en el conjunto de los presupuestos de tal manera que no puede estar vacío.
