Significado de Aditivamente Separable, Lineal en X

Question

A menudo veo en micro y macro dos terminologías comunes:

1. Aditivamente separable.

2. Lineal en precio o lineal en probabilidad.

Entiendo exactamente como suenan al mirar la forma funcional del objeto.

Pero ¿alguien podría proporcionar por qué estas estructuras o suposiciones son sensatas o insensatas y por qué son "convenientes" o "útiles"? El contexto puede ser cualquier cosa de consumidores, productores, elección bajo incertidumbre, teoría de juegos o la economía general. Pero intentando ver por qué está surgiendo repetidamente y por qué es importante o matemáticamente útil en muchas partes tanto en micro como en macro.

Answer 1

Una función de utilidad es aditivamente separable si se puede escribir como: $U(x,y) = u(x) + v(y)$

Ejemplos:

*$U(x,y) = ax + by$ es aditivamente separable por inspección.

*$U(x,y) = ax + bx2 + cy$ también lo es.

*$U(x,y) = x^a y^b$ es aditivamente separable, porque se puede escribir como $U(x,y) = log(x^a)+log(y^b)=alog(x)+b log(y)= u(x) + v(y)$

*$U(x,y) = \frac{xy}{x+y}$ no es aditivamente separable porque no hay forma de transformarlo en una sub-función independiente de $x, y$. Incluso si tomas logaritmos, queda $U = log(x) + log(y) - log(x+y)$ - nota que el tercer término no se puede 'separar'. Generalmente, mezclar suma, multiplicación y exponenciación destruirá la separabilidad aditiva.

Y así podemos ver, la definición real de separabilidad aditiva es:

Una función $f(x_1,...,x_n)$ es AS si se puede reescribir como $f(x_1,...,x_n)=f_1(x_1)+...+f_n(x_n)

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La suposición suele ser una de conveniencia matemática. Por ejemplo, cuando la utilidad es aditivamente separable en $x,y$, entonces la utilidad marginal de $x$ no depende del nivel de $y$, y viceversa. Por lo tanto, cualquier cosa que requiera el uso de derivadas parciales se vuelve más fácil. ¿Es una suposición razonable? A veces. Por ejemplo, si tu utilidad depende de manzanas y caballos, probablemente podemos asumir separabilidad aditiva. Si, en cambio, tu utilidad depende de dos cosas estrechamente relacionadas, podría ser una mala suposición.

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Answer 2

Una función es aditivamente separable en sus argumentos si tiene la forma

$$f(x,y) = g(x) + h(y)$$

Esto significa que las parciales cruzadas son cero, y por lo tanto no hay un efecto "cruzado" de un argumento sobre el efecto marginal que el otro tiene en el valor de la función. Dado que los efectos marginales son la base de la Economía (ver aquí), asumir la separabilidad aditiva simplifica enormemente el análisis. En problemas dinámicos, donde se asume que la función de utilidad intertemporal es aditivamente separable, nos permite transformar un problema de horizonte infinito en uno recursivo de dos períodos.

Las funciones que pueden transformarse en algo aditivamente separable (generalmente considerando sus logaritmos), a veces se denominan "multiplicativamente separables". El ejemplo más famoso aquí es la función de producción de Cobb-Douglas:

$$Q = K^aL^{1-a} \implies \ln Q = a\ln K + (1-a)\ln L$$

En cuanto a la linealidad, es una relación única (estructuralmente), mientras que las relaciones no lineales son muchas, quizás demasiadas. Un matemático dijo una vez que "todo el campo del Análisis es, en esencia, el estudio de la aproximación lineal de relaciones no lineales".

Nuevamente, la tratabilidad matemática es la motivación aquí, respaldada por el hecho de que una suposición de linealidad es una aproximación de "primer orden" a la verdadera relación (ver expansión de Taylor).