Pregunta sobre el interés variable de los préstamos

Question

He intentado responder a esta pregunta varias veces en los últimos días, pero no consigo avanzar. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Un préstamo de 1.000 euros debía ser devuelto en un período de veinte años por nivel mensualidades atrasadas con un tipo de interés efectivo del 5% para los primeros cinco años, del 6% para los cinco años siguientes y del 7% para el resto. El primera cuota se pagó exactamente un mes después de la concesión del préstamo y el capital de 1.766,13 euros se devolvió en la 122ª cuota. (a) Calcule el importe de cada reembolso mensual y, por tanto, L. (b) Halla el importe total de los intereses que se han pagado en los últimos doce cuotas.

Answer 1

Podemos encontrar las respuestas utilizando la ecuación de recurrencia de un préstamo.

Dónde

p[n] is the balance of the loan in month n
r[n] is the interest rate in month n
d is the regular monthly payment
s is the initial loan principal

utilizando Mathematica

RSolve[{p[n + 1] == p[n] (1 + r[n + 1]) - d, p[0] == s}, p[n], n]

produce

Definición de las tarifas

rates = Join[
   ConstantArray[(1 + 0.05)^(1/12) - 1, 60],
   ConstantArray[(1 + 0.06)^(1/12) - 1, 60],
   ConstantArray[(1 + 0.07)^(1/12) - 1, 120]];
Array[(r[#] = rates[[#]]) &, 240];

por lo que ahora se definen las siguientes variables

r[1], r[2] etc. = 0.0040741237836483535
r[61], r[62] etc. = 0.004867550565343048
r[121], r[122] etc. = 0.005654145387405274

Configuración p[0] = s .

El saldo en el mes 240 es

p[240]

-486,25993004513117 d + 3,3598013365663992 s

y debe ser igual a cero.

El reembolso del capital en el mes 122 es el reembolso menos los intereses mensuales

d - (p[121] r[122])

d - 0,005654145387405274 (-162,14186160490192 d + 1,7176096436481687 s)

Esto es necesario para igualar 1.766,13

Resolver simultáneamente

NSolve[{
  -486.25993004513117 d + 3.3598013365663992 s == 0,
  d - 0.005654145387405274 (-162.14186160490192 d + 1.7176096436481687 s) == 1766.13},
 {s, d}]

{{s -> 499996.1740005939, d -> 3454.7115850762493}}

Calcular el interés de los últimos 12 meses, utilizando entradas con 2 decimales.

s = 499996.17
d = 3454.71

Total[p[# - 1] r[#] & /@ Range[240 - 12, 240]]

1728.46