cómo ampliar el modelo lognormal para que $\sigma$ está correlacionada con $\mu$ ?

Question

Consideremos un modelo log-normal, $dx / x = \mu dt + \sigma dW$ , donde $W(t)$ es un proceso Wiener.

Digamos que $\mu$ y $\sigma$ cambian con el tiempo, lentamente, así que los anotamos por $\mu(t)$ y $\sigma(t)$ .

Considere $dx / x$ donde la tasa de deriva es $\mu$ y la volatilidad es $\sigma \sqrt{dt}$ . Aquí, $\mu(t)$ y $\sigma(t)$ no está correlacionado.

Ahora bien, si en algunos casos los datos muestran una fuerte correlación, como cuando $\mu(t)$ sube, $\sigma(t)$ también subiría -- los 2 están casi en una relación lineal, algo así como $\sigma(t) = \sigma_0 + k \mu(t)$ --¿Cómo podría establecer un modelo para eso?

Por supuesto, podría ponerlo como $$dx/x = \mu(t) dt + (\sigma_0 + k \mu(t)) dW$$

Pero me pregunto, ¿hay algún modelo/método ya establecido para tal situación? por ejemplo para el modelo estocástico general hay HJM, para la media-inversa hay Hull-White, para el precio de las acciones hay el log-normal.

¿Existe algún modelo ya investigado o mejor aún, utilizado en la industria, que amplíe el modelo lognormal $dx / x = \mu dt + \sigma dW$ para que $\mu(t)$ y $\sigma(t)$ ¿se correlacionarían?

Answer 1

Como señala @Rustam, la "correlación" de funciones deterministas en el sentido que usted describe es un caso especial de permitir $\mu$ y $\sigma$ para tener una estructura de términos de forma arbitraria. Como esta última es fácil de tratar, nadie se preocupa por las formas restringidas de la misma.

Ahora, hay bastantes personas que se ocupan de los modelos que dejan $\sigma$ cambiar con $S$ . Me refiero en particular a los modelos de volatilidad local, que tienen una superficie explícita $\sigma(S,t)$ para ajustarse a los mercados de opciones vainilla. Se utilizan en las mesas de operaciones exóticas (y los modelos a veces también tienen términos de salto).

Answer 2

Para responder a mi propia pregunta, no hay un modelo popular para la pregunta, que $dS/S=\mu(t)dt+\sigma(t)dW$ y $\sigma(t)$ está correlacionada con $\mu(t)$ . el marco general debe ser el modelo de volatilidad estocástica, pero necesito hacer la extensión por mi cuenta.