Diseño de mecanismos: Demostrar que la utilidad esperada es diferenciable

Question

Dado un mecanismo directo, definimos la utilidad esperada de un comprador $u(\theta)$ condicionada a que su tipo sea $\theta$ por $u(\theta)=\theta q(\theta)-t(\theta)$ , donde $q:[\underline{\theta},\bar{\theta}]\to[0,1]$ y $t:[\underline{\theta},\bar{\theta}]\to\mathbb{R}$ .

También definimos que un mecanismo directo es compatible con los incentivos si la revelación de la verdad es óptima para cada $\theta\in[\underline{\theta},\bar{\theta}]$ es decir, $$u(\theta)\geq \theta q(\theta')-t(\theta'),\quad\forall\theta,\theta'\in[\underline{\theta},\bar{\theta}].$$

LEMMA : Para un mecanismo directo compatible con los incentivos, queremos demostrar que para todo $\theta$ que $u$ es diferenciable, tenemos $u'(\theta)=q(\theta)$ .

PROOF : Considere cualquier $\theta$ para lo cual $u$ es diferenciable. Sea $\delta>0$ . Entonces, por compatibilidad de incentivos, tenemos lo siguiente:

No entiendo cómo de la compatibilidad de incentivos se desprende la primera y segunda desigualdad 2.6 y 2.8. ¿Cómo podemos utilizar la misma $\theta$ en la prueba, mientras que la definición establece claramente $u(\theta)\geq \theta q(\theta')-t(\theta'),\forall\theta,\theta'$ ?

Answer 1

Por definición tenemos $$ \begin{align*} u(\theta) & = \theta q(\theta)-t(\theta) \\ \\ u(\theta + \delta) & = (\theta + \delta) q(\theta + \delta)-t(\theta + \delta) \end{align*} $$ Por compatibilidad de incentivos (donde $\theta + \delta$ es el tipo verdadero, $\theta$ es el tipo falso) tenemos $$ u(\theta + \delta) \geq (\theta + \delta) q(\theta)-t(\theta) $$ Usando estos (he usado corchetes para una notación más clara, no hay ninguna función matemática en ellos) $$ \begin{align*} u(\theta + \delta) - u(\theta) & = \left[(\theta + \delta) q(\theta + \delta)-t(\theta + \delta)\right] - \left[\theta q(\theta)-t(\theta)\right] \\ \\ u(\theta + \delta) - u(\theta) & \geq \left[(\theta + \delta) q(\theta)-t(\theta)\right] - \left[\theta q(\theta)-t(\theta)\right] \end{align*} $$ Esto también es válido si se divide por $\delta > 0$ .

Argumento similar para 2.8., utilizando el tipo verdadero $\theta - \delta$ en lugar de $\theta + \delta$ .

Answer 2

Dejemos que $u(x)=xq(x)-t(x)$ . La compatibilidad de los incentivos dicta que $xq(x)-t(x)\geq xq(z)-t(z)$ cuando $x$ es el valor privado observado. Usando un poco de manipulación algebraica, se puede demostrar que,

$xq(x)-t(x)+zq(z)\geq xq(z)-t(z)+zq(z)$ o

$u(x)+zq(z)\geq u(z)+xq(z)$ o

$u(x)\geq u(z) +(x-z)q(z)$ . Que esto sea $(1)$ .

De la misma manera, $zq(z)-t(z)\geq zq(x)-t(x)$ cuando $z$ es el valor privado observado. Por lo tanto, también desde aquí, tenemos $u(z)\geq u(x) +(z-x)q(x)$ . Sea esta expresión $(2)$ .

Desde $(1)$ tenemos $\cfrac{u(x)-u(z)}{x-z} \geq q(z)$ . Del mismo modo, desde $(2)$ tenemos $\cfrac{u(x)-u(z)}{x-z} \leq q(x)$ . Ahora, tenemos la expresión, \begin{align*} q(z) \leq \cfrac{u(x)-u(z)}{x-z} \leq q(x) \\ -(3) \end{align*}

EDITAR Como ha señalado correctamente TheoreticalEconomist, si $x > z$ expresión $(3)$ nos dice que $q(x)$ es monótona. Además, como $u$ es una función convexa, es absolutamente continua. Esto nos dice que $u$ es diferenciable en casi todas partes. Por lo tanto, dondequiera que $u$ es diferenciable, tenemos $u'(x) = q(x)$ .