¿Cómo calcular la elasticidad de sustitución en general?

Question

Sabemos que la elasticidad de sustitución se define como $$ e=\frac{d \ln(x_2/x_1)}{d \ln(MRS_{12})}=\frac{\frac{d(x_2/x_1)}{x_2/x_1}}{\frac{d(MU_1/MU_2)}{MU_1/MU_2}} $$

Cuando calculamos el ES para las funciones CES, el MRS es función de $x_2/x_1$ , por lo que podemos dejar que $z=x_2/x_1$ y hacer las cuentas fácilmente.

Pero para otras funciones de utilidad/producción, como las cuasilineales $u(x_1,x_2)=2x_1^{0.5}+x_2$ ¿Qué debo hacer?

Creo que ES dependerá de $(x_1,x_2)$ . Así que tal vez la pregunta puede ser formulada como "¿Qué es ES de $u(x_1,x_2)=2x_1^{0.5}+x_2$ en $(x_1,x_2)=(1,1)$ ?"

Answer 1

La fórmula que ya tienes ahí es una fórmula general para la elasticidad de sustitución, pero veo que puede ser difícil de aplicar a tu problema aquí dado que $MU_{x_2}=1$ . También hay otra forma de expresar la fórmula de la elasticidad de sustitución. Se puede utilizar la "fórmula de la derivada parcial" (por ejemplo, véase Sydsaeter et al. EMEA, pág. 430), que es la "monstruosidad" poco elegante que se indica a continuación. Para la elasticidad de sustitución entre $x_2$ y $x_1$ será impartido por:

$$\sigma_{x_2x_1} = \frac{−F_1^′F_2^′(x_1 F_1^′ + x_2 F_2^′)}{x_1x_2[(F_2^′)^2F_{11}^{''} − 2F_1^′F_2^′F_{12}^{''}+ (F_1^′)^2F_{22}^{''}]}, \text{ for } F (x_1, x_2) = c$$

Así que en tu caso:

$$\sigma_{x_2x_1} = \frac{−x_1 (x_1^2 + x_2)}{x_1x_2[1^2\cdot 1 ]}= \frac{-x_1^2-x_2}{x_2}$$

Más concretamente para $(x_1, x_2) = (1,1)$ : $\sigma_{x_2x_1} = -2$