Dejemos que $q$ denota la producción de la empresa, y que $\varepsilon_p(q)$ denotan la elasticidad del precio con respecto a la cantidad vendida. Sabemos que cuando se maximiza el beneficio $$ |\varepsilon_p(q)| = \frac{p(q)-MC(q)}{p(q)}. $$ También sabemos que en el equilibrio a largo plazo las empresas tienen un beneficio económico nulo, es decir $$ AC(q) = p(q). $$ La eficiencia productiva se consigue cuando $AC(q)$ se minimiza, y en ese punto $$ AC(q) = MC(q) $$ también se mantiene. Combinando esto obtenemos $$ |\varepsilon_p(q)| = \frac{p(q)-MC(q)}{p(q)} = \frac{AC(q)-AC(q)}{p(q)} = 0. $$ Por tanto, el único caso en el que todas estas propiedades coinciden es cuando la cantidad vendida no tiene ningún efecto sobre el precio de mercado, es decir, cuando la demanda es perfectamente elástica.
Una explicación sin la parte de la elasticidad:
De las otras dos propiedades (equilibrio a largo plazo y eficiencia productiva) tenemos $$ MC(q) = AC(q) = p(q). $$ Junto con la maximización del beneficio, esto implica que las empresas son tomadoras de precios, $MR(q) = p(q)$ pero como $$ MR(q) = \frac{\text{d} \ p(q)q}{\text{d} \ q} = p(q) + p'(q)q $$ esto sólo es posible si $p'(q) = 0$ lo que también significa que la demanda es perfectamente elástica.
Todo lo anterior supone que las funciones de demanda y demanda inversa son continuamente diferenciables. Podría darse una situación con una demanda no perfectamente elástica, pero sí torcida, en la que la maximización del beneficio se produce exactamente en el punto de inflexión. En este caso $MR(q)$ no existe en el punto de maximización del beneficio.
