Aproximación simple de Taylor en un modelo macroeconómico

Question

Definir $\hat{y}=\log\frac{y_t}{y}$ que significa desviación porcentual del estado estacionario.
Entonces $\hat{y}=s_c \hat{c}+s_i \hat{i} + s_g \hat{g}$ donde $s_c +s_i +s_g =1$ .
No puedo derivar ese resultado.
¿Es eso $\log s_c \approx s_c$ ?

Answer 1

En cada período de tiempo, tenemos: $$ y_t = c_t + i_t + g_t $$ El estado estacionario a largo plazo da: $$ y = c + i + g $$ así que, tomando las diferencias que tenemos: $$ \begin{align*} &y_t - y = c_t - c + i_t - i + g_t - g,\\ \iff &\frac{y_t - y}{y} = \frac{c}{y}\frac{c_t - c}{c} + \frac{i}{y}\frac{i_t - i}{i}+ \frac{g}{y} \frac{g_t - g}{g} \end{align*} $$ Establecer $s_c = \dfrac{c}{y}, s_i = \dfrac{i}{y}$ y $s_g = \dfrac{g}{y}$ para que sean los porcentajes del consumo, la inversión y el gasto público.

Esto da: $$ \frac{y_t - y}{y} = s_c \frac{c_t - c}{c} + s_i \frac{i_t - i}{i} + s_g \frac{g_t - g}{g} $$ Ahora, aproximamos las tasas de crecimiento. Para una variable $x_t$ consideremos una expansión de Taylor de $\ln(x_t)$ en torno al estado estacionario $x$ $$ \ln(x_t) \approx \ln(x) + \frac{(x_t - x)}{x} $$ Esto da $\dfrac{x_t - x}{x} \approx \ln(x_t) - \ln(x) = \ln \dfrac{x_t}{x}$ . Sustituyendo da: $$ \begin{align*} &\ln\frac{y_t}{y} \approx s_c \ln \frac{c_t}{c} + s_i \ln \frac{i_t}{i} + s_g \ln \frac{g_t}{g}.\\ \iff &\hat y = s_c \hat c + s_i \hat i + s_g \hat g. \end{align*} $$