Cómo presentar visualmente un juego simultáneo con estrategias continuas

Question

Me han pedido que modele un juego en el que dos jugadores tienen una opción infinita de estrategias y se mueven simultáneamente.

La pregunta pide que se presente el juego en forma de tabla o en forma extensa, y que se justifique esa elección. Entiendo que una tabla de juego no funcionaría, dadas las infinitas estrategias.

Entiendo que el diagrama de abajo es un juego con estrategias continuas y movimientos secuenciales. ¿Hay alguna manera de adaptarlo para mostrar movimientos simultáneos?

Answer 1

Este hilo tiene algunos árboles de juego. En caso de que quieras ponerlos en tus documentos, puedes hacerlo así (usando LaTeX con istgame paquete):

\documentclass{standalone}

\usepackage{istgame}

\begin{document}

\begin{istgame}[font=\scriptsize]
\setistgrowdirection{east}
\cntmdistance{20mm}{20mm}
\cntmAistb{q_1=0}[at end,below]{q_1=1,000}[at end,above]
\istrootcntmA(0){1}
  \istbA[draw=none]
  \endist
\cntmAistb{q_2=0}[at end,below]{q_2=1,000}[at end,above]
\istrootcntmA(1)(0-1)<[xshift=3pt]90>{2}
  \istbA[draw=none]{}{\pi_1,\pi_2}
  \endist
\end{istgame}

\end{document}

\documentclass{standalone}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{istgame}

\begin{document}

\NewDocumentCommand\vpay{m}
{ \begin{matrix} #1 \end{matrix} }

\begin{istgame}[scale=1.5,font=\scriptsize]
\cntmApreset{.9}
\cntmdistance{15mm}{20mm}
\istrootcntmA(0)[null node]{1}
  \istbA(.977)[->,thick]{q_1}[r]
  \istbm
  \endist
\cntmAInfosetO[thick,dashed](0)[-11](2em)
\istrootcntmA(1)(0-1)[null node]<180>{2}
  \istbm
  \istbA(.977)[->,thick]{q_2}[r]
    {\vpay{\pi_1(q_1,q_2)\\\pi_2(q_1,q_2)}}
  \endist
\end{istgame}

\end{document}

\documentclass{standalone}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{istgame}

\begin{document}

\NewDocumentCommand\vpay{m}
{ \begin{matrix} #1 \end{matrix} }

\begin{istgame}
\xtdistance{15mm}{40mm}
\cntmdistance{15mm}{30mm}
\cntmApreset[draw=none]{1}[red!50,opacity=.2]
\istroot(0){Challenger}
  \istb{In}[al]  \istb{Out}[ar]  \endist
\cntmAistb[draw=none]
\istrootcntmA(1)(0-1)<135>{Incumbent}
  \istbA{q_I}[left]  \endist
\cntmAInfosetO(1)
\cntmAistb[draw=none]
\istrootcntmA(2)(0-2)<45>{Incumbent}
  \istbA*{q_I}[left]
    {\vpay{\pi_C(0,q_I)\\\pi_I(0,q_I)}}
  \endist
\cntmApreset[draw=none]{1}[blue!50,opacity=.2]
\cntmAistb[draw=none]
\istrootcntmA(3)(1-1)<180>{Challenger}
  \istbA*{q_C}[midway,left]
    {\vpay{\pi_C(q_C,q_I)\\ \pi_I(q_C,q_I)}}
  \endist
\end{istgame}

\end{document}

Answer 2

En un juego de forma extensiva, se suele dibujar un espacio de acción continuo utilizando un arco que conecta dos ramas que representan los límites superior e inferior del espacio de acción. Además, se puede dibujar un círculo alrededor del arco para indicar que los nodos posteriores a esas acciones pertenecen todos al mismo conjunto de información. A continuación se presentan un par de ejemplos:

_{Relacionado: <a href="https://tex.stackexchange.com/a/272276/18228">Cómo dibujar árboles de juego con espacio de acción continuo en LaTeX </a>.}

Answer 3

Se puede indicar en el diagrama que todos los nodos (hay un continuo de ellos) después del jugador $1$ de la acción de la empresa se encuentran en el mismo conjunto de información . Esto significa que el jugador $2$ no pueden distinguir en qué nodo están siguiendo al jugador $1$ haciendo que su problema sea estratégicamente equivalente a uno en el que ambos jugadores se mueven simultáneamente (de forma similar para el jugador $1$ ).

La convención para indicar que dos nodos se encuentran en el mismo conjunto de información es conectarlos mediante una línea de puntos, como en el artículo de Wikipedia enlazado anteriormente.

Alternativamente, observe que una tabla es sólo una representación conveniente para un mapa de pares de acciones en resultados. ¿Existe alguna otra forma de escribir este mapa, que no sea escribiendo explícitamente todos los pares de acciones y sus correspondientes resultados en una tabla?